No existe ningún mapa $\mu: \mathcal{P}(\mathbb{R})\rightarrow [0,\infty]$ la satisfacción de:
(1) $\mu ((a,b])=b-a$ todos los $a,b\in\mathbb{R}$ (esto es a lo que me refiero no trivial en el título),
(2) la Traducción de la invariancia,
(3) Contables de aditividad.
Llamamos a una de esas mapa de una medida en $\mathcal{P}(\mathbb{R})$. Una razón para su no-existencia se encuentra en las propiedades del conjunto de Vitali $V$, lo que implica que $V$ no pertenecen a ninguna $\sigma$-álgebra en el que una medida satisfactoria (1), (2) y (3) existe.
Como una relajación de (3) considerar
(3)* aditividad Finita.
Mi pregunta es si un mapa de $\mu: \mathcal{P}(\mathbb{R})\rightarrow [0,\infty]$ satisfactorio (1), (2) y (3)* existe.
Vamos a llamar a esto una finitely aditivo medida en $\mathcal{P}(\mathbb{R})$. Si uno de tales mapa de $\mu$ existió, entonces el conjunto de Vitali $V$ tendría que satisfacer $\mu(V)=0$.
No exitence prueba de esto podría ser algo a lo largo de las líneas de la Banach Tarski Paradoja, pero en $\mathbb{R}$.
Pregunta extra: ¿Qué acerca de un mapa de $\mu: \mathcal{P}(\mathbb{R})\rightarrow [0,\infty]$ satisfactorio (1) y (3)?
Finalmente, me pregunto ¿cuál es tan grande sobre contables de aditividad que alguien decidió que todas las medidas deben satisfacer.
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Si dos medidas de $\mu_1$ $\mu_2$ está de acuerdo en $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$ donde $\mathcal{A}$ es cerrado bajo intersecciones finitas (a $\pi$-sistema) y satisfacer ese $\mu_1(X)=\mu_2(X)<\infty$, $\mu_1=\mu_2$ $\sigma$- álgebra generada por $\mathcal{A}$ ( $\pi-\lambda$ Teorema). Por ejemplo, dos finito medidas que están de acuerdo en abrir todos los conjuntos están de acuerdo en todos los conjuntos de Borel.
[Generalización de la anterior] Supongamos que existen dos medidas de $\mu_1$ $\mu_2$ está de acuerdo en $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$ donde $\mathcal{A}$ es cerrado bajo intersecciones finitas (a $\pi$-sistema). Por otra parte supongamos que existe una contables anidada de la subfamilia de $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}$ de los conjuntos que cubren $X$ finito $\mu_1$-(e $\mu_2$-) de la medida. A continuación, $\mu_1=\mu_2$ $\sigma$- álgebra generada por $\mathcal{A}$ (de nuevo, con la $\pi - \lambda$ Teorema). Así, por ejemplo, la medida de Lebesgue en todos los conjuntos de Borel en $\mathbb{R}^n$ está determinada únicamente por sus valores en las cajas/los intervalos.
Hasta un multiplicativo constante, la medida de Lebesgue es la única traducción invariante en la medida de los conjuntos de Borel que pone finito medida en la unidad de intervalo. Esto puede ser generalizado a dimensiones superiores, considerando la caja de la unidad $[0,1]^n$ en lugar de la unidad de intervalo. Usted puede encontrar las pruebas que aquí se utiliza, lo has adivinado, el $\pi - \lambda$ Teorema. La prueba usando el equivalente a la Monotonía de la Clase Teorema también parece bastante sencillo.
Deje $\mu_1$ $\mu_2$ $\sigma$- finito medidas en un espacio medible $(X,\mathcal{S})$, $\mathcal{A}$ un álgebra que genera $\mathcal{S}$ y supongamos que, para cada $A\in\mathcal{A}$, $\mu_1(A)=\mu_2(A)$. A continuación, $\mu_1(B)=\mu_2(B)$ por cada $B\in\mathcal{S}$ (todavía no he visto una prueba de ello).
En relación a la pregunta de bono, por la segunda (o tercera) relacionadas con el resultado de cualquier medida $\mu$ satisfactorio (1) es igual a la medida de Borel en todos los conjuntos de Borel. Y también, si todos los Lebesgue medibles conjuntos de $\mu$medible, igual a la medida de Lebesgue en dichos conjuntos, desde la realización de una medida de espacio es único. Así que la pregunta que realmente tiene que ver con el hecho de que la medida de Lebesgue puede ser extendida a una medida de todos los de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (ver t.b.'s comentario aquí).
