Mientras que la ampliación de mis técnicas de cálculo, con la ayuda de Mathematica, me encontré con que
\begin{align*} \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{3} \, dx &= -6 \zeta '(-1) -\frac{19}{24}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{4} \, dx &= -10 \zeta '(-2)-2 \zeta '(-1)-\frac{37}{72}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{5} \, dx &= -\frac{35}{3} \zeta '(-3)-\frac{15}{2} \zeta '(-2)-\frac{5}{3} \zeta '(-1)-\frac{3167}{8640}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{6} \, dx &=-\frac{21}{2} \zeta '(-4)-14 \zeta '(-3)-\frac{31}{4} \zeta '(-2)-\frac{3}{2} \zeta '(-1)-\frac{1001}{3600}. \end{align*}
Yo conjeturas de que estas relaciones se extiende también a mayores grados:
Mi Conjetura. Para $m \geq 3$, podemos escribir $$ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{m} \, dx = - \Bigg( q + \sum_{k=1}^{m-2} q_k \zeta'(-k) \Bigg) $$ para algunos de los números racionales positivos $q$$q_k$.
¿Hay alguna referencia con respecto a este problema?
Adenda. Siguiente i707107 del consejo, he obtenido la siguiente fórmula
\begin{align*} & \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{m} \, dx \\ &= -\frac{H_{m-1}}{(m-1)!} + \frac{1}{(m-1)!} \sum_{k=1}^{m-1} \left[{{m-1}\atop{k}}\right] \zeta(1-k) \\ &\quad - \frac{1}{(m-2)!}\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{l=m-j}^{m-1} \binom{m}{j} \binom{m-2}{j-1} \left[{{j-1}\atop{l+j-m}}\right] \{ \zeta'(1-l) + H_{m-j-1} \zeta(1-l) \} \end{align*}
válido para $m \geq 2$ donde $\left[{{n}\atop{k}}\right]$ denota el unsigned Stirling número de la primera clase.
