Duda rápida sobre la conversión de decimal a una fracción

Question

Estoy tratando de resolver un problema que requiere de mí para encontrar las raíces de la ecuación $$-x^4+10x^2-x-20=0$$

Haciendo uso del método de Newton, symbolab la ecuación de la calculadora ha encontrado una raíz

$x\approx -2.79129... : x=-\frac{\sqrt{21}+1}{2}$

Mi pregunta es muy básica, en realidad: ¿cómo convertir el número decimal de la izquierda a la ordenada de la facción de la derecha? Yo no podía llegar a ella de la manera que he aprendido a convertir decimales. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Usted ha aceptado otra respuesta, pero aquí es una explicación de cómo un programa o sitio web podría encontrar una expresión como la dada por un valor de punto flotante.

Si usted tiene razones para creer que un determinado número de punto flotante es una cuadrática número irracional, un programa puede comprobar si esta hipótesis es razonable y, si es razonable, dar una expresión para el valor.

El programa busca en primer lugar la continuación de la fracción de expansión del valor dado. En nuestro caso, es más fácil ver el $|x|\approx 2.79128784747792$. El primer cociente es $\mathrm{int}(x)=2$. Para obtener los posteriores, reemplace $x$ $\dfrac 1{\mathrm{frac}(x)}$ y tomar la parte entera de nuevo. Para el valor dado que podemos obtener los coeficientes de

$$[2; 1, 3, 1, 3, 1, 3, \ldots]$$

Vemos que los coeficientes de repetición. Si seguimos adelante, inherente a las imprecisiones en el formato de punto flotante va a arruinar el patrón, pero tenemos buenas razones para creer que la repetición sería infinito. Este patrón de repetición en un continuo fracción de expansión significa que el valor es una ecuación cuadrática irracional.

Llanura de álgebra puede entonces ser utilizado para encontrar una expresión para ese valor. En este caso vamos a ver, por la parte que se repite que

$$u=1+\frac 1{3+\frac 1u}$$

Solución que conduce a la ecuación cuadrática $3u^2-3u-1=0$, que tiene una solución positiva $u=\dfrac{3+\sqrt{21}}{6}$, entonces nos encontramos con la $x$ a partir de

$$x=2+\frac 1u$$

que por supuesto es $x=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}$. Todo este proceso puede ser automatizado. De nuevo, las limitaciones del formato de punto flotante y hacer de este incierto para obtener el exacto valor correcto, pero el uso prolongado de cálculo de precisión pueden cometer errores muy pocos.

Answer 2

Seguramente fue factorizado el polinomio para obtener $-(x^2+x-5)(x^2-x-4)$ y luego se utilizó la ecuación cuadrática para resolver para los ceros de cada factor.

Answer 3

Usted está haciendo una suposición de que descubrieron el primer decimal y convierte la fracción de segundo.

En la actualidad se hizo exactamente lo contrario. Se utiliza la fórmula cuadrática para obtener la fracción, Que es preciso y exacto. A continuación, se calcula y se estima que aproximadamente el decimal a la derecha.

La conversión de un irracional decimal a una fracción con el nescessary símbolos es imposible por la razón obvia de que no podemos tener nunca una completa representación decimal de un número irracional.

Answer 4

Poco tarde; Subrayo que podemos factor del polinomio nosotros mismos, y éste no es difícil. Comprobamos que no hay no tiene ninguna raíz racional. Después de esto, necesitamos sólo intentamos entero constantes $a,b,c,d$ $$ (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + \cdots $ $ ya que estamos tratando de conseguir $x^4 - 10 x^2 + x + 20,$ vemos que $c+a = 0.$ % $ $$ (x^2 + ax + b)(x^2 -ax + d) = x^4 + (b+d - a^2)x^2 + a(d-b)x + bd. $$a(d-b)= 1$tenemos $a = \pm 1.$ tanto trabajan, sólo tiene que cambiar $b,d.$ primero, lo da a $a=1$ % $ $$ (x^2 + x + b)(x^2 -x + d) = x^4 + (b+d - 1)x^2 + (d-b)x + bd, $$b+d = -9, d - b = 1.$entonces $2d = -8,$ $d= -4,$ $b=-5,$ y marcamos % # $ %#%

Repetición: Se puede hacer