Desigualdad determinantes muy general del producto interno

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial y $\langle \cdot, \cdot\rangle$ ser un producto interior en $V$. Demostrar que para cualquier entero positivo $n$ y cualquier $x_1,\dots,x_n \in V$

$$\begin{equation}\det \left[ \begin{array}{cccc} \langle x_1, x_1 \rangle & \langle x_2, x_1 \rangle &\dots & \langle x_n, x_1 \rangle\\ \langle x_1, x_2 \rangle & \langle x_2, x_2 \rangle & \dots & \langle x_n, x_2 \rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle x_1, x_n \rangle & \langle x_2, x_n \rangle & \dots & \langle x_n, x_n \rangle \end{array} \right]\geq 0\,. \end{equation}$$

El caso de $n=1$ es trivial, se sigue desde el interior del producto, la definición de la propiedad. El caso de $n=2$ es cierto por el Cauchy-Schwarz desigualdad.

Un menor de fórmula general vino a $n=3$ durante la investigación de la física, donde hay motivos para esperar que esta desigualdad se debe tener. No puedo encontrar un contraejemplo para cualquier espacio vectorial de dimensión o de una matriz de dimensión. Es esta desigualdad fundamental, un bien conocido teorema?

Answer 1

Es una fórmula bien conocida (ver matriz de Gram). Ser que $W={\rm Span }\{x_1,\ldots,x_n\}$ $k\leq n$ de la dimensión y seleccionar $(e_i)_{1\leq i\leq k}$ un orthonormal base $W$. A continuación, puede escribir:

$$\langle x_i,x_k \rangle = \sum_j\langle x_i, e_j\rangle \langle e_j, x_k\rangle$ $ o en términos de matrices (con notación obvia):$$ X = M^T M el rango de $M$ donde $X$ no es mayor que $k$ así que si $k<n$ los vectores en $X$ deben ser linealmente dependientes y $\det(X)=0$. Si $k=n$ $M$ tiene rango $n$ (ver este) y $\det(X)= \det(M^T)\det(M)= (\det(M))^2 > 0$. En particular, $\det(X)=0$ iff el %#% de #% son linealmente dependientes.