Deje $V$ ser un espacio vectorial y $\langle \cdot, \cdot\rangle$ ser un producto interior en $V$. Demostrar que para cualquier entero positivo $n$ y cualquier $x_1,\dots,x_n \in V$
\begin{equation}\det \left[ \begin{array}{cccc} \langle x_1, x_1 \rangle & \langle x_2, x_1 \rangle &\dots & \langle x_n, x_1 \rangle\\ \langle x_1, x_2 \rangle & \langle x_2, x_2 \rangle & \dots & \langle x_n, x_2 \rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle x_1, x_n \rangle & \langle x_2, x_n \rangle & \dots & \langle x_n, x_n \rangle \end{array} \right]\geq 0\,. \end{equation}
El caso de $n=1$ es trivial, se sigue desde el interior del producto, la definición de la propiedad. El caso de $n=2$ es cierto por el Cauchy-Schwarz desigualdad.
Un menor de fórmula general vino a $n=3$ durante la investigación de la física, donde hay motivos para esperar que esta desigualdad se debe tener. No puedo encontrar un contraejemplo para cualquier espacio vectorial de dimensión o de una matriz de dimensión. Es esta desigualdad fundamental, un bien conocido teorema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
H. H. Rugh
Puntos
1963
Es una fórmula bien conocida (ver matriz de Gram). Ser que $W={\rm Span }\{x_1,\ldots,x_n\}$ $k\leq n$ de la dimensión y seleccionar $(e_i)_{1\leq i\leq k}$ un orthonormal base $W$. A continuación, puede escribir:
$$ \langle x_i,x_k \rangle = \sum_j\langle x_i, e_j\rangle \langle e_j, x_k\rangle$ $ o en términos de matrices (con notación obvia): $$ X = M^T M$ $ el rango de $M$ donde $X$ no es mayor que $k$ así que si $k<n$ los vectores en $X$ deben ser linealmente dependientes y $\det(X)=0$. Si $k=n$ $M$ tiene rango $n$ (ver este) y $\det(X)= \det(M^T)\det(M)= (\det(M))^2 > 0$. En particular, $\det(X)=0$ iff el %#% de #% son linealmente dependientes.
