¿Qué es la intuición detrás de los derivados de Wirtinger?

Question

Se introducen los operadores diferenciados Wirtinger en análisis complejo para simplificar la diferenciación de variables complejas. La mayoría de los libros de texto introducen como si fuese una cosa natural. Sin embargo, no veo la intuición detrás de esto. La mayor parte del tiempo, incluso creo que tienden a hacer más cálculos.

¿Existe una interpretación simple de estos operadores? ¿Qué imagen mental tienes cuando usarlos?

Answer 1

Es natural que cuando se trata de un complejo de valores de la función $f(x,y)$ a pensar en un cambio de las variables de$(x,y)$$(z,\bar z)$, donde $z = x+i y$. Necesitamos saber cómo los derivados de transformación y nos encontramos con $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} &=& \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial \bar z}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \bar z} \\ &=& \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial \bar z} \\ \frac{\partial}{\partial y} &=& \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial \bar z}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \bar z} \\ &=& i\left(\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial \bar z}\right). \end{eqnarray*}$$ La solución para $(\partial/\partial z, \partial/\partial \bar z)$ encontramos las habituales expresiones de la Wirtinger derivados. Los derivados de la ley como se debe, $$\frac{\partial z}{\partial z} = \frac{\partial \barra z}{\parcial \barra z} = 1 \qquad \textrm{y}\qquad \frac{\partial \barra z}{\partial z} = \frac{\partial z}{\parcial \barra z} = 0.$$

El derivado $\partial/\partial \bar z$ tiene la importante propiedad de que si $$\frac{\partial}{\partial \bar z} f(z,\bar z) = 0$$ a continuación, $f$ satisface la de Cauchy-Riemann ecuaciones y así es holomorphic (y por lo tanto analítica). Esto es fácil de comprobar, $$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right) f(x,y) &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right) (u(x,y)+i v(x,y)) \\ &=& \frac{1}{2}((u_x - v_y) + i(u_y + v_x)), \end{eqnarray*}$$ donde los subíndices denotan derivadas parciales. Por lo tanto, si $\partial f(z,\bar z)/\partial \bar z = 0$ a continuación, la de Cauchy-Riemann ecuaciones están satisfechos, $u_x = v_y$$u_y = -v_x$. Esto nos da una muy buena intuición, de hecho. Aproximadamente, si $f$ no es una función de $\bar z$, $f$ es holomorphic.