¿Cuando el mapa $m \mapsto 1 \otimes m$ es inyectivo?

Question

Apenas empecé a estudiar productos de tensor y tengo una pregunta. Supongamos que A es un (comutativo con la unidad) del anillo, B una álgebra A y M un un módulo. Considerar el mapa $\alpha: M \rightarrow B \otimes_AM$, definido por $m \mapsto 1 \otimes m$. ¿Mi pregunta es, cuando es $\alpha$ inyectiva?

Pensé en este caso en particular: $\alpha: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_2 \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}$. Me parece que $\alpha(2z) = 0$, cada $z \in \mathbb{Z}$, $\alpha$ en este caso no es inyectiva.

¿Pero podemos demostrar si $B$ es un anillo que contiene $A$ como un subanillo, $\alpha$ es inyectiva?

Answer 1

Al $A$ es un sub-anillo de $B$, la pregunta es equivalente a:

Dada la secuencia exacta $0\rightarrow A\rightarrow B$ $0\rightarrow A\otimes_AM=M\rightarrow B\otimes_AM$ exacto.

Existe una noción de planitud en álgebra conmutativa, una $A$-módulo de $M$ es plano si y sólo para cada inyectiva mapa $ N\rightarrow N'$, $N\otimes_AM\rightarrow N'\otimes_AM$ es inyectiva.

Son muchas las condiciones que aseguran que un módulo es plana, por ejemplo, si $M$ es finitely generado y $p$ es un primer ideal de $A$, la localización de la $M_p$ es un servicio gratuito de $A_p$, el módulo. Una respuesta parcial a su pregunta será si $M_p$ es un servicio gratuito de $A_p$ módulo para cada primer ideal $p$ de $A$, $M\rightarrow B\otimes_AM$ es inyectiva.

https://en.wikipedia.org/wiki/Flat_module