Función invariantes bajo la transformada de Hilbert

Question

Que $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ y $$Hf(x)= \operatorname{p.v.}\int_{\mathbb{R}}\frac{f(x-y)}{y} \, dx$ $ transformada de Hilbert de $f$. ¿Es posible que $Hf=f$ (a.e. y posiblemente después extensible $H$ $L^p$ espacio)?

Answer 1

Tomando la transformada de Fourier a ambos lados de $Hf = f$ obtienes $$ -i \operatorname{sign}(\xi) \widehat{f}(\xi) = \widehat{f}(\xi). $$ Esto es cierto si y sólo si $\widehat{f}(\xi) = 0$ casi en todas partes, pero esto implica que el $f$ $0$.