¿Supongamos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es integrable, y definimos el $$F(x) = \int_a^x f(y)\,dy.$% $ #%F de #% es necesariamente una función continua?
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user339513
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Una posible respuesta sería $ de $$ |\int_a^{x+h} fd\lambda - \int_a^x fd\lambda| \le \int |1_{ [x, x+h]}f| d\lambda$, $1_{[x, x+h]}f$ converge a 0 casi por todas partes en $\mathbb{R}$ $h \to 0$ y $|1_{[x, x+h]}f| \le |f|$ integrable, lo deduce el teorema de la convergencia de Lebesgue que el lado derecho converge a 0, que es justo el reclamo de la continuidad.
Anthony Cramp
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Vamos a repetir BST de la prueba, pero el uso de convergencia dominada sólo por secuencias.
Fix $c \ge a$. Espectáculo $F$ es continua en a $c$. Para mostrar: $$ \lim_{x \c} F(x) = F(c) $$ Supongamos que no. A continuación, hay una secuencia $x_n \to c$ tal que $F(x_n) \to F(c)$ falla. [O no converger, o converge a algo distinto de $F(c)$.] Ahora $$ F(x_n) = \int_{[a,x_n]} f(y) \;dy =\int f(y)\;\mathbf{1}_{[a,x_n]}(y)\;dy $$ También se $f(y)\;\mathbf{1}_{[a,x_n]}(y) \to f(y)\;\mathbf{1}_{[a,c]}(y)$ en casi todas las $y$ [de hecho, para todos los $y$, excepto posiblemente $y=c$]. Y $$ \big|f(y)\;\mathbf{1}_{[a,x_n]}(y)\big| \le \big|f(y)\big|. $$ Por lo tanto, por el teorema de convergencia dominada, $F(x_n) \to F(c)$. Esta contradicción completa la prueba.
