¿Esta secuencia converge casi seguramente o no?

Question

Tengo una secuencia de variables aleatorias independientes $X_1, X_2,...$ tal que $P(X_n = 1) = \frac{1}{n}$$P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n}$. El uso de la segunda Borel-Cantelli Lema, tenemos $\sum P(X_n \neq 0) = \sum P(X_n = 1) = \sum \frac{1}{n} = \infty$ implica que el $X_n$ no converge a 0.s.

Pero me siento como podemos construir un ejemplo, donde casi la convergencia se produce. Deje $\Omega = (0, 1)$, y dejar que la probabilidad de medida de la medida de Lebesgue restringido a $(0, 1)$. Por último, vamos a $X_n = \mathbb{I}\{(0, \frac{1}{n})\}$. A continuación, para cualquier $\omega \in \Omega$, $\underset{n \to \infty}{\lim} X_n(\omega) = 0$, por lo $X_n$ converge a 0.s.

No entiendo por qué me estoy contradiciendo las conclusiones. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias!

Answer 1

La $X_n := 1_{(0,1/n)}$ de variables aleatorias no son independientes. Esto sigue del hecho de que

$$\lambda(X_n=1,X_m=1) = \lambda(X_m=1) = \frac{1}{m} \neq \frac{1}{n} \frac{1}{m} = \lambda(X_n=1) \lambda(X_m=1)$$

para cualquier $m \leq n$. (Aquí $\lambda$ denota la medida de Lebesgue restringida a $(0,1)$.)

Consecuencia: No se satisfacen los supuestos de la Lema de Borel-Cantelli. Por lo tanto, casi seguramente la convergencia de la secuencia no es contradicción con el lema de Borel-Cantelli.