¿Existen mínimas superficies hiperbólicas? ¿Qué parecen?

Question

Entiendo que es imposible integrar * el todo plano hiperbólico en $\mathbb{R}^3$. Pero, ¿puede uno crear una inclusión de parte del plano hiperbólico tal que la superficie resultante también es mínima?

¿Básicamente, existen superficies que tienen $\kappa_1 + \kappa_2 = 0$ y $\kappa_1 \kappa_2 = const < 0$? ¿Qué parecen?

_{* "Embed" de mayo no es el término correcto aquí, pero espero que la idea es clara.}

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$No es la superficie mínima de la constante negativa de la curvatura Gaussiana en $\Reals^{3}$, incluso a nivel local.

Hasta el escalado, el director curvaturas satisfaga $$ \kappa_{2} = -\kappa_{1},\qquad -1 = \kappa_{1} \kappa_{2} = -\kappa_{1}^{2}, $$ así pues, el director curvaturas sería constante: $\kappa_{1} = 1 = -\kappa_{2}$ sin pérdida de generalidad.

Si la superficie en $\Reals^{3}$ constante curvaturas principales, la Codazzi ecuaciones dar $\kappa_{1} - \kappa_{2} = 0$ o $\kappa_{1}\kappa_{2} = 0$. (Véase, por ejemplo, O'Neill, el Elemental de la Geometría Diferencial, Segunda edición revisada, Teorema 2.6, página 272.) Esto excluye una superficie mínima de constante negativa de la curvatura Gaussiana.

En caso de que sea de interés, una superficie conectada en $\Reals^{3}$ tener constante director curvaturas es parte de un plano, cilindro o esfera. Véase, por ejemplo, O'Neill, el Elemental de la Geometría Diferencial, Segunda edición revisada, Ejercicio 5 en la página 280.

Answer 2

Individuales silla de puntos, líneas o anillos puede ocurrir sólo a nivel local, pero no puede ocurrir por completo las superficies debido a escalar de curvatura requisito:

$$ H=0, \kappa_{2} = -\kappa_{1} =1/a ; \, K= \kappa_{1} \kappa_{2} = -1/a^2 $$

Para encontrar el lugar donde ocurren deje $$ \kappa_{2} = -\kappa_{1}= \tan \psi/a ; \, \kappa_n = 0 \, @ \psi= \pi/4 $$

La condición necesaria es, por tanto, que asintótico de las líneas de corte ortogonal.

Por ejemplo aquí, en $ \phi= 3 \pi/2 $ una pendiente de la línea de anillo para Beltrami pseudosphere, \phi=0 para hyper_pseudospheres.

Podemos decir que es localmente válido :

1. Cada superficie mínima cuando lo suficientemente extendida puede contener una línea de constante $K=-1, $ y,

2. Cada K<0 la superficie tiene una línea de H =0. $