Demuestre de la manera más sencilla posible que $\mathbb Q$ tiene una extensión con grupo de Galois $S_n$

Question

Es bien sabido que si tomamos un polinomio aleatorio (mónico con coeficientes enteros, por ejemplo), entonces "casi siempre" será irreducible y tendrá el grupo de Galois $S_n$ (ver, por ejemplo, este Pregunta de MO ). Las herramientas de la prueba son bastante avanzadas sin embargo.

Considere la afirmación mucho más débil : (*) Para cada $n\geq 2$ hay una extensión de $\mathbb Q$ con el grupo de Galois $S_n$ .

(esta declaración es exactamente lo que se necesita para terminar otra reciente MSE pregunta )

Así que aquí va mi reto: encontrar una prueba de (*) que sea tan elemental y autocontenida como sea posible (pero no más simple como diría Einstein).

Answer 1

El teorema 37 de Hadlock, Field Theory and Its Classical Problems, nº 19 de la serie MAA Carus Mathematical Monographs, es

Para cada número entero positivo $n$ existe un polinomio sobre $\bf Q$ cuyo grupo de Galois es $S_n$ .

La prueba sólo tiene media página, PERO es la culminación de un largo capítulo, lo que me sugiere que cualquier prueba autocontenida será demasiado larga para que alguien quiera escribirla aquí. Pero tal vez podrías echarle un vistazo, para ver si eres capaz de publicar un resumen (o para tener una mejor idea de lo difícil que es la cuestión).