Por favor, disculpe mi español que no es probablemente muy correcto.
Aquí es una prueba de que he leído por ahí (yo no soy el buscador de ella). Puede parecer mucho, pero es por la forma en que me lo explique ; en realidad es muy sencillo. Es "sintético" como usted desea ? Se juzgarán a sí mismos.
En primer lugar, imaginar rígido en el plano que se desliza sobre un plano fijo, y considerar, en un tiempo determinado t, el campo de vectores de las velocidades, con respecto al plano fijo, de todos los puntos del movimiento del avión. Desde el movimiento plano es rígido, el campo de vectores de las velocidades deben ser de uno de los dos tipos siguientes : (i) o es una constante en el vector de campo, y eso significa que todos los puntos de los movimientos del plano tienen el mismo (vectorial) de la velocidad en el tiempo t (en caso de una traducción instantánea) ; (ii) o existe un punto C, llamado el centro instantáneo de rotación, tal que la velocidad en cualquier punto M es ortogonal al vector CM (caso de un instante de rotación). Por supuesto, el centro instantáneo de rotación puede moverse a diferentes lugares durante el movimiento. Una prueba de estos hechos, véase el apéndice a continuación.
Ahora dibuja su figura en un plano fijo, y dibuje un par de ejes ortogonales cruce en el punto a en algún otro plano rígido. A continuación, poner el segundo plano en la primera de ellas de tal manera que los ejes son tangentes a la elipse, y finalmente girar este segundo plano en el fijo, manteniendo los ejes de la tangente a la elipse. Lo que estamos buscando es el lugar geométrico de un punto a a Un durante este movimiento.
La próxima revisión de un punto P y un punto P sobre los ejes de la que, en un determinado tiempo fijo t, estos puntos coinciden con los puntos de contacto de los ejes de la elipse. Mi primera afirmación es que en ese mismo tiempo t, las velocidades de los puntos P y Q son tangentes a la elipse. De hecho, si no lo eran, al menos uno de estos puntos de la cruz de la elipse en el tiempo t, y esto llevaría a una contradicción con el hecho de que los ejes siguen siendo tangente a la elipse. A partir de esta primera afirmación, y ya que estas velocidades son ortogonales entre sí, se puede concluir que existe un centro instantáneo de rotación C ubicado en la intersección de la normal a la elipse en los puntos P y Q, o, en otras palabras, que se encuentra en el cuarto vértice de un rectángulo con tres primeros vértices en P, a y P. Se deduce que la velocidad del punto a al tiempo t es ortogonal a la diagonal CA del rectángulo (PAQC).
Mi segunda afirmación es que esta diagonal CA pasa por el centro O de la elipse. De hecho, esto se deduce del hecho de que pasa por el punto medio de P y Q ya (PAQC) es un rectángulo, y desde el hecho bien conocido de que cuando se administra dos tangentes (aunque no ortogonal) de la elipse, entonces el punto de intersección de las dos tangentes, el punto medio de los dos puntos de contacto, y el centro de la elipse, se encuentran sobre una misma línea recta : es obvio por la simetría cuando la elipse es un círculo, y todos estos hechos pueden ser transportados a cualquier elipse desde que permanecen invariantes bajo transformaciones afines. Como consecuencia de esta segunda afirmación, tenemos que la velocidad del punto a en el tiempo t es ortogonal al vector OA.
Pero este resultado se cumple para cualquier tiempo fijo t. Por lo tanto, la velocidad del punto a se queda siempre ortogonal a los vectores OA, y de ello se sigue que (plaza de la) distancia OA permanece constante durante el movimiento, ya que tiene un cero de la derivada. Y esto demuestra que el punto a se mueve a lo largo de un círculo centrado en O.
El final.
Apéndice : el campo de vectores de las velocidades de un rígido en movimiento plano.
Deje que nosotros denotamos por M' la velocidad del punto M, en algunos fija el tiempo t. Si a y M son dos puntos de la rígido en movimiento plano, diferenciando el cuadrado de la distancia constante AM obtenemos que M'-A' es ortogonal al vector de la mañana. Mencionemos dos consecuencias de esta : (i) si existe un punto C tal que C'=0, entonces M es ortogonal al vector CM para todos los puntos de M de los movimientos del plano (caso de un instante de rotación) ; (ii) si a es tal que Un'$≠$0, entonces para todos los puntos de M acostado en la línea a través de Un ortogonales a Una', las velocidades M' son paralelos A' (es decir, que son linealmente dependientes).
Entonces podemos concluir de la siguiente manera : (i) si hay dos puntos a y B tal que a' y B' no son paralelos (es decir, son linealmente independientes), las líneas a través de Un ortogonales a Una' y a través de B ortogonal a B' se cruzan en algún punto C donde la velocidad debe ser paralela a ambos a' y B', por lo que C'$=0$, y luego tenemos un instantáneo de rotación como se demostró anteriormente ; (ii) y si (en caso contrario) las velocidades son todas paralelas a una dirección de Un'≠0, entonces en cualquier punto M tal que AM no es ortogonal a a' la velocidad tiene que ser de M'=A', y no es difícil ver que esto implica que en realidad M'=' para todos los puntos de M de los movimientos del avión, lo que es, entonces tenemos una traducción instantánea.