Cohomology de la gavilla de la estructura de $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$

Question

Necesito calcular el % de característica de euler $\chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1})$de la gavilla de la estructura de $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ (el producto de la línea proyectiva compleja con sí mismo). Supongo que para hacer esto, podría utilizar la fórmula Kunneth y un poco de Hodge teoría, pero no estoy familiarizado con este tema.

¿Alguien me puede ayudar? ¡Gracias!

Answer 1

De Euler-Poincaré característicos $\chi(V)=\chi(V,\mathcal O_V)$ de la estructura de la gavilla de un suave proyectiva variedad se llama la Hirzebruch aritmética de género y es multiplicativo : $$\chi(V\times W)=\chi(V)\times \chi(W)$$ This immediately solves your problem: $\chi(\mathbb P^1\times \mathbb P^1)=\chi(\mathbb P^1)\times \chi(\mathbb P^1)=1\1=1$ .

Las pruebas se pueden encontrar en Hartshorne: Ejercicio físico, 7.2 page54 y Ejercicio III, 5.3 page230.
Y aquí es un post relacionados.

Edit: una variante de
El Segre morfismos incorpora la variedad $\mathbb P^1\times \mathbb P^1$ como quadric $Q\subset\mathbb P^3$.
La Severi aritmética de género de $Q$ está dado por $p_a(Q)=\binom{2-1}{3}=0$ (Hartshorne, Capítulo I, Ejercicio 7.2, page54) .
Desde $\chi(Q)=1+(-1)^{dim Q}\cdot p_a(Q)$, encontramos de nuevo $\chi(Q)=1+(-1)^2 \cdot 0=1$