Continuidad de Scott en powerset

Question

Estoy buscando el nombre de la clase de funciones $f:\mathcal P(A)→\mathcal P(A)$ que son monótonas y que se caracterizan por su imagen en subconjuntos finitos, es decir, las funciones $f$ que satisface la siguiente propiedad:

$$ f(S) = \bigcup_{X\in \mathcal P_{fin}(S)} f(X)$$

donde $\mathcal P_{fin}(S)$ es el conjunto de subconjuntos finitos de $S$.

1. No corresponde a Scott continuidad con el subconjunto de la orden?

   ($D=\mathcal P_{fin}(S)$ es, de hecho, dirigió y $\sup D = S$, pero no todos dirigidos $D$ son de la forma $\mathcal P_{fin}(S)$, por lo que no he sido capaz de concluir.)

2. Independientemente de la 1., hay un nombre de referencia para esta clase?

   Podría tener algún interés para ser restringida a un subgrupo de orden, como esta clase parece ser cerrado bajo las operaciones habituales sobre conjuntos (intersección, composición y arbitraria de la unión).

Estoy interesado por el hecho de que si $f$ en la clase, a continuación, $f^\omega$ es idempotente. Yo también estoy interesado en las relaciones ($A = B\times B$), para que la clase también es cerrado bajo pointwise relacional de la composición (lo que parece, de hecho, para ser cerrado bajo un montón de operaciones).

Answer 1

Con respecto a 1.

Estos son precisamente los de Scott-funciones continuas. Si una función es Scott-continua entonces es obvio que satisface la condición, ya que el conjunto finito de subconjuntos de un conjunto dado se dirige.

Para ver la vamos a conversar $D$ ser dirigido conjunto de conjuntos. Entonces $$ f\left(\bigcup_{d\in D} d\right) = \bigcup_{x \subseteq^{fin}\bigcup_{d\in D}}f(x).$$

Ahora finito de conjuntos compactos elementos de la powerset de celosía. Así que debido a $x \subseteq^{fin}\bigcup_{d\in D}$, entonces hay un $x_d \in D$ tal que $x \subseteq x_d$. Debido a $f$ es el fin de la preservación de este da $$ f\left(\bigcup_{d\in D} d\right) \subseteq \bigcup_{x_d \in D}f(x_d).$$

Por otro lado, debido a $f$ es el fin de la preservación de, tenemos para todos los $x_d \in D$ $$f(x_d) \subseteq f\left(\bigcup_{d\in D} d\right)$$ y así $$ \bigcup_{x_d \in D}f(x_d) \subseteq f\left(\bigcup_{d\in D} d\right).$$

Por lo $f$ conserva dirigida suprema, por lo que es Scott-continuo.

Un directo de la generalización de esta situación son algebraicas celosías. Estos son completos celosías de tal forma que cada elemento está dirigido supremum de compacto elementos por debajo de ella. A continuación, para comprobar la continuidad, es suficiente para comprobar la condición análoga a la que se declaró.

Con respecto a 2.

Tal vez alguien sabe una mejor referencia, pero Dana Scott en (1) llama a estos solo conjunto continuo de asignaciones (página 229). Él también tiene varios otros equivalentes caracterizaciones y algunas propiedades.

1. Dana S. Scott: "Cálculo Lambda: Algunos Modelos, Algunos Filosofía", Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas, Volumen 101, De 1980, Páginas 223-265, El Kleene Simposio