Codominios de la transformada de Fourier

Question

Entre otras cosas, la transformada de Fourier de mapas de las funciones de $L^2(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n)$, $L^1(\mathbb{R}^n) \to C_0(\mathbb{R}^n)$ (funciones continuas de fuga en el infinito), y $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\to\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ (Schwartz espacio, o el espacio de la rápida disminución de las funciones).

Estoy interesado en mirar más de cerca el codominio de la segunda asignación. Desde $C_0 \subset L^\infty$ cada $L^1$ función es asignada por la transformada de Fourier en una $L^\infty$ función. Sin embargo, me preguntaba si es fácil encontrar ejemplos específicos de funciones que sólo están en $L^1$, pero se asignan a $L^1$ o $L^2$ (o posiblemente cualquier otro $L^p$$1 \leq p < \infty$).

Answer 1

Por sólo en $L^1$ entiendo que la función $f$ $L^1$ pero no en cualquier $L^p$ $p>1$. Esta función es por ejemplo $f(x)=\min(|x|^{-a},|x|^{-b})$, donde $0<a<1<b$ (y $f(0)=0$). Entonces $\hat f\in L^\infty$, $\hat f\not\in L^p$ $1\le p\le2$. Esta consecuencia de la fórmula de inversión y de la desigualdad Hausdorff Young: Si $g\in L^p$, $1\le p\le2$, entonces el $\|\hat g\|_q\le C\|g\|_p$ % un % constante $C$independiente de $g$ y $p^{-1}+q^{-1}=1$. Sin embargo, todavía podría suceder $\hat f\in L^p$ $p\in(2,\infty)$.