¿Por qué tenemos que añadir la noción de "separado" a la noción de variedad?

Question

En la mayoría de los casos, la definición de una variedad de más de un campo $k$, al menos, requiere que el de ser "finito de tipo" y de ser "separados". No tiene ninguna pregunta para mí que el ser finito tipo, ya que siempre nos gusta finito.

Yo nose sabe la razón por la que requieren ser "separados" para una variedad?

Hay una razón por la que desde un esquema sobre un campo $k$ ser separados tienen la propiedad de que la intersección de dos afín a abrir los conjuntos es todavía afín conjunto abierto.

Hay otros acceptant razones?

Muchas gracias.

Answer 1

Separatedness es el análogo en la topología de Zariski de Hausdorfness en el cohmology de un colector o complejo analítica del espacio. Sin él, el extraño comportamiento puede producirse. E. g. si $Y$ no está separado, luego dos morfismos $f,g: X \to Y$ podría coicide en una densa abrir subconjunto de $X$, mientras que no coincide en todos los de $X$. Por eso, la "continuación analítica" no es válido para los morfismos en $Y$.

Muchos de los argumentos que en la geometría de proceder por la continuación analítica/Zariski densidad de argumentos, por lo que es natural en lugar de uno mismo en un contexto donde los argumentos se pueden aplicar sin reservas.

Answer 2

Además de lo que Matt E ha explicado, si se incluyen las separatedness en la definición de sistema, es decir, de forma separada (habiendo cerrado la diagonal) prescheme, la analogía será más claro a este respecto que una variedad es de hecho, un separado prevariety donde prevariety por esta definición es una irreductible, la reducción de prescheme finito de tipo más de un algebraicamente cerrado campo de $k.$ Este enfoque está más cerca de la forma, Mumford en el libro Rojo de las variedades y de los esquemas ha adoptado para definir la noción de variedad.