El término de $\dot{q}$ en la ecuación de Euler-Lagrange

Question

La ecuación de Euler-Lagrange es funcional

$$ \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t ) dt . $$

Desde un punto matemático de la vista, un más simple funcional puede ser

$$ \int_{t_1}^{t_2} L(q, t ) dt , $$

¿Correcto? Entonces, ¿por qué es esta funcional no tan común en la física? ¿Puede alguien dar un ejemplo donde este funcional es relevante?

Answer 1

El último funcional no sería muy útil en la física, porque sin el $\dot{q}$ dependencia no habría manera de capturar la energía cinética de la partícula en el Lagrangiano. No sería la dinámica, como la funcional sería extremized simplemente mediante el establecimiento $\partial{L}/\partial{q} = 0$. Para un típico de Lagrange de la forma $L = T - U$, esto sería simplemente traducir a decir que la partícula se encuentra en un punto fijo de la potencial. Este resultado puede ser encontrado de forma mucho más sencilla de consideraciones elementales sin necesidad de que el principio de la acción.

Este a su vez responde a su segunda pregunta: la última funcional es simplemente extremized al $\partial{L}/\partial{q} = 0$, por lo que suele ser más fácil iniciar directamente desde ese requisito, sin la introducción de un funcional.

Answer 2

Así, si se aproxima a la cuestión de los principios generales, hay una razón por la ecuación de evolución de la mecánica de los sistemas dinámicos es de segunda (o más) de la orden: todos los sistemas inerciales de referencia son equivalentes a formular las leyes de la física (no sólo las leyes con respecto a la mecánica). Desde estos marcos de referencia se han arbitraria relación de velocidad constante, no hay manera de arreglar un absoluto de la velocidad para cada sistema dinámico y cada marco de referencia inercial es admisible, en principio. Si las leyes de evolución -- vistos como sistemas de ecuaciones diferenciales -- fueron de primer orden, lo que significaría que la velocidad inicial es dado a la hora de asignar las condiciones iniciales para obtener la solución del problema de movimiento. En otras palabras, un marco de referencia preferido entre la clase de los sistemas inerciales de referencia que existen. De Euler-Lagrange las ecuaciones produce ecuaciones diferenciales de primer orden si $L$ es la función de $t$ $q$ solamente. Esta es una razón por la $\dot{q}$ también es necesaria en el Lagrangiano de un sistema mecánico.

Answer 3

Aquí está la versión corta: la física es a menudo acerca de calcular el tiempo de evolución de un sistema dinámico. Allí el término cinético $T(\dot{q})$ juega un papel importante. En cambio, en problemas de estática, el término cinético $T(\dot{q})$ está ausente o se puede descuidar y minimizar sólo el % de la energía potencial $V(q)$.