Convergencia de $a_n=(1/2)^{(1/3)^{...^{(1/n)}}}$

Question

La secuencia $a_n=(1/2)^{(1/3)^{...^{(1/n)}}}$ no convergen, pero en cambio tiene dos límites, $a_{2n}$ y uno para $a_{2n+1}$ (calculado por la computadora - fluctuarán alrededor 0.3 a alrededor 0.67). ¿Por qué es esto?

Answer 1

Puedo reducir el problema a algunos de los resultados de la exponencial de la torre de $x^{x^{x^{\dots}}}$, lo que no he comprobado cómo probar, pero que asumo que probablemente son bien conocidos.

Observe que si se escribe en la forma $$(1/2)^{\dots (1/999)^x}$$ donde $x = (1/1000)^{(1/1001)^{\dots (1/n)}}$, entonces es suficiente para demostrar que $x$ oscila entre dos valores. Yo reclamo que $x \le (1/1000)^{(1/1000)^{\dots (1/1000)}}$ si $n$ es un número impar (por lo que hay un número de niveles en la fórmula de la definición de $x$, y el signo de la desigualdad se invierte cuando la $n$ es incluso. Podemos demostrar esto mediante la demostración por inducción en $k$ que $$(1/(n+1))\wedge(1/(n+2))\wedge \dots \wedge (1/(n+k)) \ge (1/n)\wedge (1/(n+1))\wedge \dots \wedge (1/(n+k-1))$$ al $k$ es incluso similar al de la desigualdad cuando se $k$ es impar. Para hacer la inducción también tenemos el hecho de que $$(1 / (n+1)) \wedge (1/(n+1)) \wedge \dots \wedge (1/(n+1)) \ge (1/n) \wedge (1/n) \wedge \dots \wedge (1/n)$$ cuando hay un número par de términos y la desigualdad se invierte lo contrario.

A continuación, me refiero al folclore cómo la exponencial de la torre de $x \wedge x \wedge \dots$ no converge al $x < e^{-e}$, y en lugar de saltos entre dos valores (que va a estar muy cerca de $0$ $1$ pequeña $x$). Sabemos que $e^{-e} \ge 1/1000$, por lo que el resultado de la siguiente manera.