¿Cómo integrar $\int \frac{1}{\sqrt{1+29x^2+100x^4}}dx$ y $\int \frac{1}{\sqrt{1-2x^2-8x^4}}dx$ uso de funciones elípticas?

Question

¿Cómo integrar $$\int \frac{1}{\sqrt{1+29x^2+100x^4}}dx$$ and $% $ $\int\frac{1}{\sqrt{1-2x^2-8x^4}}dx$uso de las funciones elípticas?

He intentado usarlos pero tengo % fórmula incorrecta $$\frac{1}{\sqrt{2}}F(arctan(\sqrt{2}x)∣3)$$ para el primero de ellos (el segundo argumento debe ser menor o igual 1).

¿Alguien pudo resolverlo?

Gracias

Answer 1

No estoy totalmente seguro de cómo hacerlo a mano, pero el uso de la identidad

$$\int\frac{1}{\sqrt{a+bx^2+cx^4}}\mathrm{d}x=-\frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{b^2-4 c}+b+c 2 x^2}{\sqrt{b^2-4 c}+b}} \sqrt{\frac{2 c x^2}{b-\sqrt{b^2-4 c}}+1} F\left(i \sinh ^{-1}\left(\sqrt{2} \sqrt{\frac{c}{b+\sqrt{b^2-4 c}}} x\right)|\frac{b+\sqrt{b^2-4 c}}{b-\sqrt{b^2-4 un c}}\right)}{\sqrt{2} \sqrt{\frac{c}{\sqrt{b^2-4 c}+b}} \sqrt{a+b x^2+c x^4}}$$

se obtiene

$$\int\frac{1}{\sqrt{1+29x^2+100 x^4}}\mathrm{d}x=-\frac{i \sqrt{4 x^2+1} \sqrt{25 x^2+1} F\left(i \sinh ^{-1}(5 x)|\frac{4}{25}\right)}{5 \sqrt{100 x^4+29 x^2+1}}$$

y

$$\int\frac{1}{\sqrt{1-2x^2-8x^4}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2} F\left(\sin ^{-1}(2 x)|-\frac{1}{2}\right)$$

lo cual está de acuerdo con experimentos numéricos.