Mostrando una función no es uno a uno cerca del origen

Question

Que %#% $ #%

Estoy tratando de mostrar que este no es uno a uno cerca de $$f(x)=\begin{cases} x+2x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) \text{ if } x \neq 0 \\ 0 \text{ if } x=0 \end{cases}$. Me dieron un indicio a tener en cuenta tres secuencias: $0$, $x_n=\frac{2}{(4n-1)\pi}$ y $y_n=\frac{2}{(4n+1)\pi}$ y evaluarlos utilizando $z_n=\frac{2}{(4n-3)\pi}$. Soy capaz de evaluarlos, es decir, sólo conéctelos. No sé qué hacer después de haber mi $f$.

Las funciones evaluadas en cada secuencia:
$f(x_n), f(y_n), \text{and } f(z_n)$ $f(x_n)=\frac{2}{(4n-1)\pi}+2\left(\frac{2}{(4n-1)\pi}\right)^2\sin\left(\frac{(4n-1)\pi}{2}\right)$ $f(y_n)=\frac{2}{(4n+1)\pi}+2\left(\frac{2}{(4n+1)\pi}\right)^2\sin\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right)$

Answer 1

Una idea sin la MVT (y por cierto su función es diferenciable por todas partes):

$$\left(x+2x^2\sin\frac{1}{x}\right)'=1+4x\sin\frac{1}{x}-2\cos\frac{1}{x}$$

Elegir sabiamente algunas secuencias, compruebe que el derivado de la anterior "mucho" de la muestra cambia cuando cerca de cero...

Answer 2

Para solucionar esto tienes que utilizar MVT.

Como una forma "alternativa" evaluar $f'(x)=1+4x\sin(\frac1x)-2\cos(\frac1x)$ en el % de secuencias $2x_n, ?$.

Answer 3

Evaluación directa pero tedioso muestra suficientemente grande $n$, sostiene $$ 0 < y_n < x_n < z_n \text{ and } f(y_n) < f(x_n), f(x_n) > f(z_n).$$ elija $\lambda_n \in (\max\{f(y_n), f(z_n)\}, f(x_n))$. $f$ Es continuo por todas partes, por el teorema del valor intermedio, existen $\alpha_n \in (y_n, x_n)$ y $\beta_n \in (x_n, z_n)$ tal que % $ $$f(\alpha_n) = f(\beta_n) = \lambda_n.$ claramente, $\alpha_n \neq \beta_n$. Por lo tanto $f$ no es uno a uno.

La prueba anterior no se basa en la diferenciación. De hecho, estoy un poco confuso sobre cómo dar información rigurosa usando MVT.