¿Puede esta secuencia un número hiperreal? ¿Cuál sería su parte real?

Question

Considerar la secuencia de $\{a_n\} = \{\sin(n) \mid n\in \mathbb N \}$. Puede esta secuencia se ve como un hyperreal número? Lo que podría ser su parte real? Cualquier intuición sería muy apreciado :)

Recientemente me he estado preguntando acerca de algunos casos especiales de hyperreal números. Por ejemplo, sé que la interpretación de la secuencia de $\{b_n\} = \{1,0,1,0, ... \}$ depende de cómo nos hemos decidido a construir el ultrafilter de cuasi-grandes conjuntos. Después de la construcción como se detalla en el (maravilloso) libro "Cálculo Infinitesimal" por Henle y Kleinberg, primero es agregar todos los cofinite conjuntos de productos naturales para el filtro. Luego, uno por uno, que habría que añadir otros conjuntos de productos naturales. Si decidimos añadir el conjunto de incluso los naturales, entonces el conjunto de desigual naturales no hacen parte del filtro. Entonces el conjunto $\{n \mid b_n = 0\}$, que es igual al conjunto de incluso los naturales, sería considerado cuasi grande, por lo $\{b_n\}$ sería igual a $0$. Sin embargo, si añadimos el conjunto de desigual naturales para el filtro en su lugar, a continuación, $\{b_n\}$ sería igual a $1$.

Me siento como un razonamiento similar se puede aplicar a $\{\sin(n) \mid n\in \mathbb N \}$, pero en la que la secuencia es complicado, en el que dos de sus elementos son siempre iguales. Estoy teniendo un tiempo difícil encontrar un real $r$ y un infinitesimal $h$ tal que $\{n \mid \sin(n) = r + h_n\}$ es cuasi-grande.

Answer 1

Primero de todo, un hyperreal número, en el ultrapower de la construcción es una clase de equivalencia de secuencias, no solo en una secuencia particular. Así que formalmente no es un hyperreal número.

Pero dejando esta diapositiva, la respuesta realmente depende de la elección de ultrafilter. Realmente que la secuencia es en realidad densa en $[-1,1]$. Si le sucede que tiene un conjunto de $I$ en el ultrafilter tal que $\{\sin(n)\mid n\in I\}$ monótonamente converge a $0$ desde arriba, el número real usted busca es $0$. Si lo mismo es cierto para $\frac12$, es eso. Si otros conjuntos de pasar a estar en el ultrafilter usted va a obtener otros resultados.

Y ya que no podemos definir explícitamente un libre ultrafilter, ni normalmente queremos, tenemos mucha libertad en asumir las cosas como antes suceder o no suceder.