Familia de funciones con dos asíntotas horizontales

Question

Estoy buscando la ecuación de una familia de funciones que aproximadamente similar a la siguiente bosquejo (con disculpas por la crudeza de dicho dibujo):

   

Propiedades que estoy buscando:

• $\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_1$ (es decir, los enfoques de la asíntota y=y₁)
• $\lim_{x\to+\infty}f(x)=y_2$ (es decir, los enfoques de la asíntota y=y₂)
• $|f'(x)|$ está en un máximo en x=0

Recuerdo algo de e^x/(??), pero no puedo recordar exactamente y parece que no puede venir para arriba con la fórmula. Quiero usarlo para el peso de las etiquetas en una nube de etiquetas (es decir, más recientemente, una etiqueta que se utiliza (menor x), la más peso (más y), la etiqueta se presenta). Toda la gráfica se desplaza hacia arriba y a la derecha de lo que se muestra en el dibujo, pero yo sé cómo hacer que parte una vez que tengo una fórmula.

Answer 1

Creo que lo que estás buscando es una forma de la función logística, como %#% $ #%

Editar: para Tu criterio específico con $$f(x)=\frac{2}{1+e^x}-1.$ y $y_1$: $y_2$ $

Edit 2: para la comparación de mi respuesta a las otras dos respuestas:

rayado/negro: $$f(x)=\frac{y_1-y_2}{1+e^x}+y_2.$; azul: $\frac{2}{1+e^x}-1$; rojo: $-\frac{2}{\pi}\arctan x$

Answer 2

Otra famosa familia de funciones que se comportan como describes es de % de forma $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. (Esta función es realmente el seno de la función arctan George sugerido)

Gráfico de $y=-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$:

Para un general y₁ y y₂, la fórmula sería $y=-\dfrac{y_1-y_2}{2}*\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{y_1+y_2}{2}$