¿Es correcta mi prueba? Si $f$ tiene un número finito de discontinuidades en $[a, b]$, entonces es integrable en $[a, b]$

Question

Pregunta:

Supongamos que una función de $f(x)$ sobre el intervalo de $[a, b]$ es limitada y tiene sólo un número finito de puntos discontinuos en $[a, b]$. Tengo la intención de demostrar que debe ser integrable en $[a, b]$.

Es mi prueba por debajo de la correcta?

Mi Respuesta (Es correcto?):

Desde $f(x)$ tiene sólo un número finito de puntos discontinuos, llame a estos puntos de $p_1, p_2, ..., p_n$. Ahora vamos a $r$ ser un número mayor que $0$ tal que para todo $\epsilon > 0$, $2r < \frac{\epsilon}{4M}$. Ahora vamos a

$M_i =$ sup$_{x \in [p_i - r, p_i +r]}f(x)$ $m_i =$ inf$_{x \in [p_i - r, p_i +r]}f(x)$. A continuación,$M_i - m_i \leq 2M$.

Ahora, a continuación, $f$ debe ser continua en cada intervalo de $[a, p_1 - r], [p_1 + r, p_2 - r], ...,[p_n + r, b]$ e lo $f$ debe ser integrable en cada uno de estos intervalos. Por lo tanto, no existen particiones $P_1, P_2,..., P_{N+1}$ de cada uno de estos intervalos tales que $U(P_k, f) - L(P_k, f) < \frac{\epsilon}{2(N + 1)}$. $U(P_k, f)$ y $L(P_k, f)$ son de la parte superior e inferior sumas de $f$ sobre sus respectivas particiones.

Deje $P$ ser la partición dada por la $P_1 \cup P_2 \cup ... \cup P_{N+1}$. A continuación,$U(P, f) - L(P, f) = U(P_1, f) - L(P_1, f) + U(P_2, f) - L(P_2, f) + ... U(P_{N + 1}, f) - L(P_{N + 1}, f) + M_1 - m_1 + M_2 - m_2 + ... M_N - m_N < 2M(\frac{\epsilon}{4M}) + \frac{\epsilon}{2(N + 1)}(N + 1) = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$.

Por tanto, para todos $\epsilon > 0$, existe una partición de $P$ $[a, b]$ tal que $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$.

Por lo tanto, $f(x)$ es integrable sobre $[a, b]$.

Es esto una prueba de la correcta ?

Answer 1

Usted tiene el enfoque correcto. Sólo limpiar un par de detalles.

Usted está tratando de mostrar que, dado cualquier $\epsilon > 0$, existe una partición de $P_\epsilon$ tal que $U(P_\epsilon,f) - L(P_\epsilon,f) < \epsilon$.

En primer lugar, defina $M$,

$$M := \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|.$$

Luego de ello se sigue que para $i = 1, 2, \ldots, n$ hemos

$$M_i - m_i \leqslant 2M,$$

y la contribución a la diferencia en la parte superior e inferior de las sumas de los intervalos de $[p_i - r, p_i +r]$ es

$$\sum_{i=1}^n(M_i - m_i)[p_i + r - (p_i-r)] \leqslant 4Mnr.$$

No elija $r < \epsilon/4M$ cualquier $\epsilon$. Para un determinado $\epsilon > 0,$ elegir un determinado $r = r(\epsilon)$ tal que $r < \epsilon/ (8Mn)$ $[p_i-r,p_i+r] \subset (a,b).$

Elegir las particiones $P_k$ el otro $n+2$ los intervalos necesarios para cubrir $[a,b]$ tal que

$$U(P_k,f)-L(P_k,f) < \frac{\epsilon}{2(n+2)}.$$

También se están probando esto por $p_i \in (a,b)$. El mismo argumento se aplica con algunas ligeras modificaciones si $p_1 = a$ o $p_n = b.$