Prueba de convergencia de una serie trigonométrica

Question

Comprueba las convergencias de las siguientes series

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sin n}{\sqrt{n}}$$

Answer 1

Denote $\theta = 1 + \pi$ , $a_n = (-1)^n \sin n = \sin(n \theta)$ y $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ . Entonces, calcule

$$A(x) = \sum_{1 \le k \le x} a_k = \textrm{Im}\left(\sum_{1 \le k \le x} e^{i k \theta}\right) = \textrm{Im}\left(\frac{e^{i (\lfloor x \rfloor +1) \theta}-e^{i \theta}}{e^{i \theta}-1}\right)$$ Lo que produce $$|A(x)| \le \left|\frac{e^{i (\lfloor x \rfloor+1) \theta}-e^{i \theta}}{e^{i \theta}-1}\right| \le \frac{2}{|e^{i \theta}-1|}$$

Así que $x \mapsto A(x)$ está acotado. Utilizando la fórmula de suma de Abel, se puede escribir

$$\sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(x)\phi'(x) \, dx$$

Desde $A$ está acotado, y $\phi$ va a cero en el infinito, puedes comprobar que ambos términos del lado derecho de la expresión anterior tienen un límite en el infinito.