¿Cómo tratar las diferencias?

Question

En mi clase de Cálculo, mi profesor de matemáticas dijo que los diferenciales tales como $dx$ no son números, y no debe ser tratado como tal.

En mi clase de física, me parece que el tratamiento de los diferenciales exactamente como los números, y mi profesor de física, incluso se dice que son, en esencia, números muy pequeños.

Alguien puede darme una explicación que satisfaga a ambas clases, o ¿sólo tengo que aceptar que los diferenciales son tratados de manera diferente en los distintos cursos? Por ejemplo, si la densidad lineal de una barra sólida es $d$, en clase de Física podemos decir que la masa de una parte muy pequeña de la varilla $dx$$d*dx$, por lo que mi profesor de física diría $dm=d*dx$.

P. S. me tomó Cálculo 2 así que por favor trate de mantener las respuestas en torno a ese nivel.

P. S. S. Siéntase libre de editar las etiquetas si usted piensa que es apropiado.

Answer 1

La definición de la derivada es que $$ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{df}{dx}. $$ En otras palabras, para que una fija $x_{0}$, se puede establecer $\Delta x = x-x_{0}$ $\Delta f=f(x)-f(x_{0})$ e,$\Delta x \ne 0$, tendrá la función de $o$ tal que $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{df}{dx} + o(\Delta x), $$ donde $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}o(\Delta x)=0$. Así, sólo pensar en lo que los Físicos están haciendo como un aproximado de cuando los términos de error, esperamos, desaparecen en el límite, y los dejo con una ecuación diferencial. Si tienes cuidado de que funciona tan fácilmente, pero sin dejar dudas acerca de lo que estás haciendo. Los buenos Físicos tienen una excelente capacidad para pensar en estos términos, y ellos saben lo que están haciendo.

Answer 2

Me solidarizo con el físico y con el matemático en diferentes formas, pero por el momento me inclino hacia el físico del punto de vista.

Aquí está una de mis propios esfuerzos hacia explicando "$dx$": ¿Qué es $dx$ en la integración?

En cierta forma evidente $dx$ es tratado como un número. Uno escribe la regla de la cadena como $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$, como si $du$ es un número que se cancela. Uno dice que si $u=\sin x$ desde $\dfrac{du}{dx}=\cos x$, uno llega a la conclusión de que $du=\cos x \, dx$, simplemente multiplicando ambos lados por $dx$.

Los matemáticos tienden a advertir a la gente contra ingenuamente pensando que intuitiva argumentos son válidos, sin sospechar que algunos de sus alumnos han avanzado hasta el punto de ser capaz de ver la plausibilidad de aquellos intuitiva argumentos. "Me doy cuenta de que, naturalmente, parecen irresistably plausible para que la gente que [INSÉRTESE el ARGUMENTO AQUÍ QUE ES INCOMPRENSIBLE PARA LOS ESTUDIANTES], y he estado pensando que, desde que se fueron, en primer grado, pero lo que debemos aprender de este curso es lo que está mal con el pensamiento de que." Hay una falacia en el pensamiento de los matemáticos que dicen que.