Cómo encontrar el rango de la función: $f(x) = \sqrt{x-1}+2\sqrt{3-x}$

Question

Problema :

Encontrar el rango de la función: $f(x) = \sqrt{x-1}+2\sqrt{3-x}$

Solución :

Dominio de esta función se puede determinar como :

$x - 1 >0 ; 3-x >0 \Rightarrow x >0 ; x <3 ;$

$\therefore $ dominio de $x \in [1,3]$

Ahora si pongo los valores de este dominio en mi función, a continuación, da los siguientes valores :

en 1 ; el valor de la función es $2\sqrt{2}$

a las 2 : el valor de la función es $ 1+2 = 3$

a las 3 : el valor de la función es $2$

Podemos decir que el valor máximo de la función es 3 y el valor mínimo de la función es 2;

Por lo tanto, el rango de esta función es [2,3], pero esta respuesta es errónea. por favor, sugiera..

También sugieren que ¿cómo podemos utilizar el método de diferenciación para encontrar el rango... gracias.

Answer 1

Tenemos %#% $ #%

Por lo tanto, va en aumento en $$f^\prime (x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{2}{2\sqrt{3-x}}=\frac{\sqrt{3-x}-2\sqrt{x-1}}{2\sqrt{(x-1)(3-x)}}.$ % $ $$f^\prime(x)\ge0\iff \sqrt{3-x}\ge2\sqrt{x-1}\iff 3-x\ge4(x-1)\iff x\le\frac{7}{5}.$ahora sabemos que $f(x)$ y que $1\le x\lt 7/5$ está disminuyendo en $f(x)$.

Por lo tanto, sabemos que el máximo es $7/5\lt x\le 3$, y que el minuto es $f(7/5)$

Answer 2

Esta función sólo se define en $[1,3]$. Podemos diferenciarlo y buscar puntos donde la derivada es $0$. Ya que es un continuo (en $[1,3]$) y diferenciable (en $(1,3)$) función, valores extremos deben suceder en $1$, $3$ o en dichos puntos con derivada $0$.

Answer 3

Puesto que la función es continua, la imagen del intervalo cerrado $[1, 3]$, es decir, $f([1, 3])$ también es un intervalo cerrado.

Puesto que la función es diferenciable, podemos encontrar los valores máximos y mínimos (que la función alcanza) comparando todos los puntos críticos (set $f'(x) = 0$) y puntos finales ($f(1)$ y $f(3)$).