mostrar que $$X^4-4X^2-21 \in\mathbb {Q}[X]$$ es soluble en los radicales.
$ \mathrm {Def}$ : Deje que $f(X) \in K[X]$ y dejar $ \Sigma $ ser un campo de separación para $f(X)$ sobre $K$ . Decimos $f(X)$ es soluble por los radicales si $ \exists\ ;\; M\;$ s.t $M \supseteq \Sigma $ y $M \supseteq K$ es una extensión radical.
$ \mathrm {Def (2)}$ : $L \supset K$ es una extensión rdical si existe una cadena de campos intermedios $K=K_{0} \subseteq K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq....\subseteq K_{n}=L$ de tal manera que $K_{i+1}=K( \alpha_ {i})$ donde $ \alpha_ {i}^{r_{i}} \in K_{i}$ para $ \{1,...,n-1\}$
Tengo problemas para entender estos conceptos. Sospecho que con sólo seguir las definiciones anteriores, primero tenemos que encontrar un campo de división $ \Sigma $ para $f(X)$ sobre $K$ y luego mostrar que $ \Sigma $ está contenida en una extensión radical $L \supseteq K$ .
Deje que $u=x^2$ entonces tenemos $u^2-4u-21=0$ con raíces $x_{1}=-3$ y $x_{2}=7$
Así que la ecuación original se divide en factores lineales
$X^4-4X^2-21=(x- \sqrt {7})(x+ \sqrt {7})(x-i \sqrt {3})(x+i \sqrt {3})$
De ahí el campo de división $ \Sigma = \mathbb {Q}(i, \sqrt {3}, \sqrt {7})$ pero como $ \mathbb {Q}( \sqrt {3}, \sqrt {7})= \mathbb {Q}( \sqrt {3}+ \sqrt {7})$ podemos simplificar el campo de división para $ \Sigma = \mathbb {Q}(i, \sqrt {3}+ \sqrt {7})$
¿Qué debo hacer ahora? Cómo crear (encontrar) $M$ que contendrá $ \Sigma $ ? Y cómo mostrar que $M \supseteq \mathbb {Q}$ es radical entonces? Se agradece cualquier ayuda.
