transformación de Laplace

Question

Estoy cansado y completamente en blanco sobre cómo encontrar una solución de transformación de Laplace de $\sin(\sqrt{t})$. Por favor especificar el método utilizado y si es posible algo que no sea el método de la serie. Gracias

Answer 1

Se desea evaluar la integral

$$\underbrace{\int_0^{\infty} dt \, e^{-s t} \sin{\sqrt{t}}}_{t=u^2} = 2 \int_0^{\infty} du \, u \, e^{-s u^2} \sin{u} $$

La integral se puede evaluar a través del teorema de Cauchy, considerando la integral de contorno

$$\oint_C dz \, z \, e^{-s z^2} $$

donde $C$ es el rectángulo con vértices $\pm R \pm i/(2 s)$, y la integral atraviesa $C$, en un sentido positivo. Debido a que la integral es cero, entonces podemos demostrar que, cuando nos tomamos el límite de $R \to \infty$, obtenemos

$$ 2 \int_0^{\infty} du \, u \, e^{-s u^2} \sin{u} = \frac{1}{s} e^{1/(4 s)}\: \Re{\left [ \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-s \left ( x-\frac{i}{2s}\right )^2}\right ]} $$

que pueden ser evaluados a través del teorema de Cauchy, de nuevo, esta vez en la integral

$$\oint_{C'} dz \, e^{-s z^2} = 0$$

donde $C'$ es el rectángulo con vértices $\pm R$$\pm R-i/(2 s)$. Tomando el límite de $R\to\infty$, nos encontramos con que

$$\Re{\left [ \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-s \left ( x-\frac{i}{2 s}\right )^2}\right ]} = \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-s x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{s}}$$

Por lo tanto,

$$\int_0^{\infty} dt \, e^{-s t} \sin{\sqrt{t}} = \frac12 \sqrt{\pi} \, s^{-3/2} \, e^{-1/(4 s)}$$