Cinco chicas y once chicos deben ser alineados en una fila que... ¿Dónde está mi error?

Question

Cinco niñas y once niños se alinearon en una fila tal que a partir de de izquierda a derecha, las chicas están en el orden de $g_1g_2g_3g_4g_5$. En cómo de muchas maneras se puede hacer esto si $g_1$ $g_2$ son separados por de al menos 3 niños, y hay un niño de entre $g_4$$g_5$.

Primero echa un vistazo a este el que se muestra el número de maneras de poner $r$ distintos objetos en $n$ cajas distintas tales que el orden importa: Si usted es demasiado perezoso para leer, básicamente dice que el número de maneras de poner $r$ distintos objetos en $n$ cajas distintas que el orden en las casillas que importa es dado por $P^{n+r-1}_{r}$

La idea es contar los arreglos donde hay un número arbitrario de los niños entre los $g_1$ $g_2$ y atmost uno entre el $g_4$ $g_5$ y, a continuación, subract el número de acuerdos donde hay menos de $3$ de los niños entre los $g_1$ $g_2$ (atmost uno entre el$g_4$$g_5$).

En primer lugar, cuente la disposición de que hay un número arbitrario de los niños entre los $g_1$ $g_2$ y atmost uno entre el$g_4$$g_5$. Si organizar a las niñas como $\_g_1\_g_2\_g_3\_g_4g_5\_$, luego los guiones pueden ser tratados como cajas donde poner a los chicos. Observar que no hay ningún guión entre $g_4$$g_5$. Caso 1: no hay ningún objeto entre el$g_4$$g_5$. Hay $P^{15}_{5}$ a dichos acuerdos. Caso 2: No es un objeto entre el$g_4$$g_5$. Hay $11\times P^{14}_{5}$ a dichos acuerdos. Por lo tanto, el total es de $3003000$.

Ahora, contar el número de permutaciones donde hay menos de $3$ de los niños entre los $g_1$$g_2$. Caso 1: $0$ objetos entre ellos. Si no hay ningún objeto entre el $g_4$ $g_5$ $P^{14}_{4}$ y si no se ha $11\times P^{13}_{4}$, por lo que en este caso no se $212784$ arreglos. De la misma manera para los casos donde no se $1$ $2$ objetos entre $g_1$ $g_2$ se obtiene, respectivamente, los valores de $11\times P^{13}_{4} + 11\times 10\times P^{12}_{4} = 1,519,684$$2\times {11\choose2}\times P^{12}_4 + 2\times{11\choose2}\times 9\times P^{11}_{4} = 3,920,400$, que es mayor que $3003000$, por lo que es evidente que hay un error.

Sé que hay más elegante aproximaciones a este (compartir si te gusta), pero la principal pregunta es ¿dónde está el error en el enfoque actual?

Answer 1

No entiendo por qué usted reclama en su Caso 1 que hay $P^{15}_5$ arreglos donde las niñas están en el orden dado y $g_4$ lado $g_5$. La cantidad de $P^{15}_5$ es el número de maneras de elegir un subconjunto ordenado de $5$ a partir de un conjunto de $15$, y que parece que no se aplican aquí-- usted sabe los cinco niñas serán en el orden dado.

La manera en que yo lo entiendo, tiene una línea de con $15$ espacios, y usted quiere elegir a $4$ de los espacios para poner sus niñas (desde $g_4$ $g_5$ vienen juntos como un paquete.) Luego el resto de la $11$ espacios se llenaron como una permutación de los chicos. Así que usted ha $\binom{15}{4} \cdot 11!$ arreglos posibles en esas condiciones. A continuación, en el otro caso, escoja a un niño para ir entre los $g_4$$g_5$. Entonces no son realmente ony $14$ espacios en la línea, así que usted tiene $\binom{14}{4}$ opciones de espacios para poner a las chicas, y los chicos llenar los espacios restantes como una permutación de nuevo, por lo que el Caso 2 rendimientos de $11 \cdot \binom{14}{4} \cdot 10! = \binom{14}{4} \cdot 11!$.

Para resolver el problema, la primera revisión de tres chicos para ir directamente delante de $g_1$ en un orden dado. Hay $\frac{11!}{8!} = 990$ formas de hacerlo. A continuación, utilice un argumento similar a los anteriores: En un caso, $\binom{12}{4}$ formas de elegir los lugares para las niñas (con sus archivos adjuntos), y $8!$ maneras de cubrir los puestos restantes. En el otro caso, $\binom{11}{4}$ opciones de lugares para las niñas, los tiempos de $8!$. El total es de $990 \cdot 8! \cdot (\binom{12}{4} + \binom{11}{4})$.

Esto puede ser simplificado bien: $990 \cdot 8! = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8! = 11!$, e $\binom{12}{4} = 495$$\binom{11}{4} = 330$, por lo que la respuesta final es $825 \cdot 11!$.

Answer 2

Del contexto supongo $P_i^j = \frac{j!}{(i-1)!}$, pero despues me aparece diferentes números que tú: $$P_5^{15}+11P_5^{14} = 94443148800$ $ y $$P_4^{14} + 11P_4^{13} = 25945920000$$$11P_4^{13} + 11\cdot10\cdot P_4^{12} = 20197900800$y $ $$11\cdot 10\cdot P_4^{12} + 11\cdot 10\cdot 9\cdot P_3^{11} = 15367968000$ $ % $ y, al menos, el segundo grupo sumas menos de la primera.