¿Cuál es el valor de $i+i^2+i^3+\cdots+i^{23}$ ?

Question

¿Puede alguien ayudarme con esta pregunta y mostrarme una solución paso a paso, por favor?

El número imaginario es $i$ se define de forma que $i^2=-1$ . ¿Qué es? $i+i^2+i^3+\cdots+i^{23}$ ?

Answer 1

Pista: ¿sabe usted lo que $i^2, i^3,$ y $i^4$ ¿son? Eso debería llevarle a esperar un patrón.

Answer 2

Mira los valores de $i^0,\, i, \,i^2, \,i^3,\,i^4,\,$ ... $,\,i\,^5,...$ : verá un cíclico emerger el patrón.

Observaciones:

• $i + i^2 + i^3 + i^4\;\; = \;\;i + -1 + - i + 1 \;\;=\;\; 0$

• Para cualquier $n\in \mathbb{N}$ , $i^n = i,\, i^2,\, i^3,\, i^0 = i^4$ .

• Es decir, para cualquier $n,\,$ considere $\;k\; = \;n\pmod 4.\;$ Entonces $i^n = i^k$

Answer 3

La multiplicación de los números complejos es, geométricamente, una rotación.

El ángulo entre la recta de los números reales positivos y un número complejo dado se llama argumento de ese número, normalmente dado en radianes. Cuando se multiplican dos números complejos, el argumento del producto es la suma de los argumentos de los dos factores.

La distancia euclidiana de un número complejo a $0$ es su módulo. Cuando se multiplican dos números complejos, el módulo del producto es el producto de los dos módulos.

Porque el argumento de $i$ es $90$ grados ( $\pi$ radianes), y su módulo es $1$ cuando multiplicamos un número por $i$ , giramos ese número 90 grados.

Así que $i$ es el vector unitario que apunta hacia arriba. Entonces $i\times i = i^2$ es un vector que apunta a la izquierda ( $-1$ ), $i^3$ es un vector que apunta hacia abajo ( $-i$ ), y $i^4$ es un vector unitario que apunta a la derecha ( $1$ ). Si los sumamos, obtenemos cero porque todos se anulan.

Las potencias subsiguientes siguen dando vueltas al círculo de la unidad en el mismo patrón: $90, 180, 270, 0, 90$ ... o $i, -1, -i, 1, i, ...$ .

Usted tiene $23$ poderes que se añaden. La primera $20$ son sólo cinco grupos de cuatro que se cancelan a cero individualmente, y así suman cero en total. Te quedan tres potencias que deben continuar alrededor del círculo así: $i, -1, -i$ . La suma de estos es $-1$ ya que $i$ cancela $-i$ .

Answer 4

Sugerencia $ $ Llámalo $\,S.\,$ $\, (1\!-\!i)(1\!+\!S) = (1\!-i)(1\!+i\!+\cdots\! + i^{23}) = 1\!-i^{24} = 1\!-(-1)^{12}\! = 0\:$ $\Rightarrow$ $\,S = -1.$

Answer 5

Una pista: Desde $i^2=-1$ tenemos $\color{#C00000}{i}+\color{#00A000}{i^2}+\color{#C00000}{i^3}+\color{#00A000}{i^4}=0$ .