Integral en función de un parámetro

Question

Tarea: encontrar todos los valores del parámetro, tales que la integral converge. $$\int_0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x}$$ Lo intenté mucho y utilicé el método de Cauchy y Weierstrass, pero fue inútil. Y ahora sé que debo usar $$\sum_n \int_{\pi n}^{\pi(n+1)}$$

Answer 1

En primer lugar, tenemos $$ \small\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\mathrm{d}x}{1+((k+1)\pi)^\alpha\sin^2(x)} \le\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^\alpha\sin^2(x)} \le\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\mathrm{d}x}{1+(k\pi)^\alpha\sin^2(x)}\tag{1} $$ A continuación, para estimar los límites en $(1)$ tenemos $$ \begin{align} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\mathrm{d}x}{1+\beta\sin^2(x)} &=\int_0^\pi\frac{\mathrm{d}x}{1+\beta\sin^2(x)}\\ &=2\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{1+\beta\sin^2(x)}\tag{2} \end{align} $$ Observando que en $[0,\pi/2]$ , $\frac2\pi x\le\sin(x)\le x$ podemos acotar $(2)$ $$ 2\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{1+\beta x^2} \le2\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{1+\beta\sin^2(x)} \le2\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{1+\frac{4\beta}{\pi^2}x^2}\tag{3} $$ Evaluación de los límites en $(3)$ obtenemos $$ \frac2{\sqrt\beta}\arctan\left(\frac{\pi\sqrt\beta}2\right) \le2\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{1+\beta\sin^2(x)} \le\frac\pi{\sqrt\beta}\arctan\left(\sqrt\beta\right)\tag{4} $$ Combinando $(1)$ , $(2)$ y $(4)$ obtenemos $$ \frac{\pi/2}{((k+1)\pi)^{\alpha/2}} \le2\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^\alpha\sin^2(x)} \le\frac{\pi^2/2}{(k\pi)^{\alpha/2}}\tag{5} $$ Por lo tanto, como $k\to\infty$ , $$ \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^\alpha\sin^2(x)}=\Theta\left(k^{-\alpha/2}\right)\tag{6} $$ Así, la integral converge para $\alpha\gt2$ .

Answer 2

A continuación, utilizaremos el siguiente resultado dos veces: $\int \limits _0 ^\pi {1 \over {1 + c \sin ^2 x}} = {\pi \over \sqrt {1 + c}}$ , si $c>0$ . Para demostrarlo, divide la integral en $\int \limits _0 ^{\pi \over 2} + \int \limits _{\pi \over 2} ^\pi$ y utilizar la sustitución $t = \tan x$ en cada intervalo.

Tenga en cuenta que $\int \limits _0 ^\infty {1 \over 1+x^a \sin ^2 x} \mathbb d x \geq \int \limits _0 ^\infty {1 \over 1+x^a} \mathbb d x$ y esta última integral es divergente para $a \leq 1$ Por lo tanto, necesariamente $a>1$ .

A continuación, observe que $$\int \limits _{n \pi} ^{(n+1) \pi} {1 \over 1+x^a \sin ^2 x} \mathbb d x = \int \limits _0 ^\pi {1 \over 1 + (x+n \pi)^a \sin ^2 x} \mathbb d x \leq \int \limits _0 ^\pi {1 \over 1+(n \pi)^a \sin ^2 x} \mathbb d x= {\pi \over \sqrt {1 + (n \pi)^a}}$$ y, como $\sum {\pi \over \sqrt {1 + (n \pi)^a}}$ converge si y sólo si $a>2$ su integral dada también tiene garantizada la convergencia para $a>2$ .

Queda por investigar el caso $1 < a \leq 2$ . Pero $$\int \limits _0 ^\pi {1 \over 1 + (x+n \pi)^a \sin ^2 x} \mathbb d x \geq \int \limits _0 ^\pi {1 \over 1 + (\pi+n \pi)^a \sin ^2 x} \mathbb d x = {\pi \over \sqrt {1 + \pi ^a (n+1) ^a}}$$ y, desde la serie $\sum {\pi \over \sqrt {1 + \pi ^a (n+1) ^a}}$ es divergente para $a \leq 2$ , también lo será su integral.

Por lo tanto, la serie converge si y sólo si $a>2$ .