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¿Inconsistencia en la expansión binomial?

Cuando hago una expansión binomial en 1(12x)(1+3x) sobre 0 Puedo hacerlo de dos maneras.

Método 1 1(12x)(1+3x)=112x11+3x Por lo tanto, conseguir (1+y1)1(1+y2)1 . Este método me daría un radio de convergencia |2x|<1 Y |3x|<1 . Por lo tanto, el radio de convergencia es 13<x<13 .

Método 2 1(12x)(1+3x)=11+x6x2 Puedo dejar y=x6x2 , obteniendo así (1+y)1 .

Ahora, la convergencia será para |y|<1 o |x6x2|<1 . Esto realmente me da 13<x<12 . Por lo tanto, tengo 13<x<12 en mi convergencia también.

Pregunta: Entonces, ¿cuál es el método correcto y por qué hay tanta incoherencia?

Tengo mis propias teorías, pero voy a ver lo que todos tienen que decir antes de opinar.

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Shabaz Puntos 403

Asumiendo que estás haciendo la expansión alrededor de 0 se obtiene la convergencia hasta la raíz más cercana (en el plano complejo). En ambos casos se trata de 13 . El error es suponer que el radio de convergencia de 11+x6x2 es que con tres términos en el denominador, se contaminan entre sí en la serie de potencias. Lo hacen de la manera justa para que el método 1 sea correcto.

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