¿Inconsistencia en la expansión binomial?

Question

Cuando hago una expansión binomial en $\frac{1}{(1-2x)(1+3x)}$ sobre $0$ Puedo hacerlo de dos maneras.

Método 1 $$\frac{1}{(1-2x)(1+3x)}=\frac{1}{1-2x}\frac{1}{1+3x}$$ Por lo tanto, conseguir $(1+y_1)^{-1}(1+y_2)^{-1}$ . Este método me daría un radio de convergencia $|2x|<1$ Y $|3x|<1$ . Por lo tanto, el radio de convergencia es $-\frac{1}{3}< x < \frac{1}{3}$ .

Método 2 $$\frac{1}{(1-2x)(1+3x)}=\frac{1}{1+x-6x^2}$$ Puedo dejar $y=x-6x^2$ , obteniendo así $(1+y)^{-1}$ .

Ahora, la convergencia será para $|y|<1$ o $|x-6x^2|<1$ . Esto realmente me da $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, tengo $\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$ en mi convergencia también.

Pregunta: Entonces, ¿cuál es el método correcto y por qué hay tanta incoherencia?

Tengo mis propias teorías, pero voy a ver lo que todos tienen que decir antes de opinar.

Answer 1

Asumiendo que estás haciendo la expansión alrededor de $0$ se obtiene la convergencia hasta la raíz más cercana (en el plano complejo). En ambos casos se trata de $\frac 13$ . El error es suponer que el radio de convergencia de $\frac 1{1+x-6x^2}$ es que con tres términos en el denominador, se contaminan entre sí en la serie de potencias. Lo hacen de la manera justa para que el método 1 sea correcto.