¿Si es continua en $f$ $a$, es continua en algún intervalo abierto alrededor del $a$?

Question

¿Si es continua en $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $a$, es continua en algún intervalo abierto alrededor del $a$?

Answer 1

No, eso no es cierto. Tomar el % de la función #% definida en $f : \mathbb R \to \mathbb R$ si $f(x) = 0$ #% y $x \in \mathbb Q$ si $f(x) = x$. Es discontinua en todas partes excepto en $x \not\in \mathbb Q$ $f$ (puede usted probar esto?).

Answer 2

No. Tomar %#% $ #%

Es continua en $$x\mapsto \left\lfloor\frac 1 x\right\rfloor^{-1}$; pero tiene discontinuidades en cada $x=0$

Añadir En una nota lateral, no es difícil demostrar que esta función es continua en $x_n=\dfrac 1 n$. Utilizar el teorema del apretón con $0$ y $x$ $2x$ y $x\to 0^+$ y $x$ $x/2$. Por supuesto, necesitamos establecer $x\to 0^{-}$.

Answer 3

No. Considerar la función $$ f (x) =\begin{cases} x &\text{if } x\in \mathbb Q\\ -x &\text{otherwise} \end{casos} $ que es continua en $0$, pero no a cualquier otro número real.

Answer 4

No necesariamente:

$$ f (x) =\begin{cases} x,&\text{if }x\in\Bbb Q\\ -x&\text{if }x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q \end{casos} $$

es continua solo en $0$.

Answer 5

Aquí es una función que es continua en cada punto irracional y discontinua en cada uno racional. Entonces la respuesta es no.