Número de desintegraciones en una reacción en cadena

Question

Es ampliamente conocido que la probabilidad de $n$ decae de una sistema a otro $A \rightarrow B$ (por ejemplo, electrones que decaen de un nivel de energía atómica a otro o muones que decaen en neutrinos y electrones, etc.) en un periodo de tiempo determinado viene dado por una distribución de Poisson.

Sin embargo, considere la siguiente reacción en cadena simple

$$A \xrightarrow{\lambda_A} B\xrightarrow{\lambda_B} C$$

donde $\lambda_i$ es la tasa de decaimiento. En $t=0$ (tiempo inicial) no hay partículas en $B$ o $C$ Todos ellos están en $A$ . La cuestión es cómo calcular o estimar la probabilidad de un número determinado de desintegraciones de $A$ a $B$ más el número de decadencias de $B$ a $C$ en un periodo de tiempo determinado . En otras palabras, se puede suponer que en cada una de las reacciones se emite una partícula, digamos un fotón, y se quiere estimar la probabilidad de obtener cierto número de fotones emitidos durante un periodo de tiempo.

La probabilidad de $n$ decae de $A$ a $B$ en un tiempo $\Delta t$ debe estar dada por una distribución de Poisson con número medio $\lambda_A\, \Delta t$ . Sin embargo, me pregunto cuál es la probabilidad de $m$ decae entre $B$ y $C$ en un período de tiempo es. No creo que siga una distribución de Poisson dado que la probabilidad de obtener $n$ decae en un periodo de tiempo determinado debería depender del tiempo.

Esto debe ser algo bien conocido ya que tiene aplicaciones en la física nuclear (fisión), atómica (emisión espontánea) y de partículas ( $\pi^-$ que va a $\mu^-$ (que emite $\bar\nu_{\mu}$ ) seguido de desintegración de muones). Y también en la química. Parece ser algo bastante común.

Las referencias son bienvenidas.

N.B: Yo soy no preguntando por la distribución de las partículas en $A,\, B,$ y $C$ en función del tiempo.

Answer 1

La probabilidad de obtener $n$ decae en un intervalo de tiempo $\Delta t$ viene dada por

$$p(n)=\sum_{m=0}^{n} \,p_A (m)\cdot p_B(n-m)$$

donde $p_A(n)$ es una distribución de Poisson con media $$\lambda_A\,\int_{t_i}^{t_i+\Delta t} N_A(t') \, dt'$$ y de forma equivalente para $p_B(n)$ . Y $N_A (t)$ , $N_B(t)$ son, respectivamente, el número de $A$ -partículas y $B$ -partículas. Nótese que se trata del número actual de partículas, en lugar de los números medios dados por

$$\langle N_A(t)\rangle =N_0\,e^{-\lambda_A\,t}$$ $$\langle N_B(t)\rangle =N_0\frac{\lambda_A}{\lambda_A-\lambda_B}\left(e^{-\lambda_B\,t}-e^{-\lambda_A\,t}\right)\,,$$

como ha señalado dmckee. Estos promedios pueden ser una aproximación razonable a los valores actuales siempre que las poblaciones sean lo suficientemente grandes.

(No he comprobado esta respuesta, siéntase libre de criticar)