¿Hay más de una forma de un ejemplo de una variedad inmersa $S\subseteq M$ que es una subvariedad inmersa?

Question

Los resultados conocidos de unicidad dicen que una subvariedad embebida tiene una estructura suave única que la convierte en una subvariedad embebida con la topología del subespacio, y las subvariedades inmersas tienen una estructura suave única que las hace inmersas si tenemos una topología fija previa.

Esto parece implicar que hay una instancia de alguna subvariedad inmersa $S\subseteq M$ con una topología y estructura suave dada, donde es posible hacer que $S$ sea una subvariedad inmersa con una estructura suave diferente si también se nos permite dotarla de una topología diferente.

¿Existe un ejemplo conocido de tal subvariedad? Mi definición es la más estricta, que una variedad suave es la imagen de una inmersión inyectiva. Si no existe ningún ejemplo, no me importaría relajar la definición a ser solo la imagen de una inmersión.

Answer 1

La clave es encontrar un conjunto que sea la imagen de dos inmersiones inyectivas diferentes que induzcan topologías distintas en él. Aquí hay una pista:

$\qquad$

EDICIÓN: Para un ejemplo donde los dos subconjuntos no son homeomórficos, prueba esto:

En un caso, el subconjunto tiene dos componentes conexas, ninguna de las cuales es compacta. En el otro, hay tres componentes, una de las cuales es compacta.