Usada tanto para limahoyas subyacentes como aparejadas

Question

Una técnica general es como sigue:

Para demostrar que una propiedad se mantiene para la conexión de un espacio, uno puede demostrar que el conjunto de todos los puntos que satisfacen esta propiedad es no vacío y formas cerradas y abiertas conjunto. A continuación, por la conexión, la propiedad debe mantener para todos los puntos en el espacio.

Este se encuentra las aplicaciones, incluso en graves problemas de investigación, por ejemplo, la Calabi conjetura que fue resuelto por esta técnica. ¿Qué es la intuición detrás de esta técnica inocua, y por qué es tan útil? Hay otros ejemplos clásicos de esta técnica aplicada?

Answer 1

Una aplicación común:

Si usted tiene un holomorphic mapa entre dos compactos conectado superficies de Riemann, es constante o surjective.

Prueba: en Primer lugar tenga en cuenta que una función que es constante en un n.h. de algún punto es de hecho constante, a través de la costumbre continuación analítica argumento. Por lo tanto si no es constante, entonces no constante en el n.h. de cada punto. Por lo tanto, por la asignación abierta teorema de holomorphic funciones de una variable, se ha abierto la imagen. Por otro lado, se ha cerrado la imagen (ya que la imagen de un conjunto compacto es compacto, por lo tanto cerrado). El destino está conectado por supuesto, QED.

Answer 2

Esta técnica parece ser muy común en el PDE. Mientras que uno puede obtener a priori estimaciones, al igual que el de Calabi conjetura, entonces se puede demostrar que el conjunto es cerrado. Las mismas ideas, pero también, por ejemplo, de Schauder estimación. Otro ejemplo es que el Teichmuller espacio es isomorfo al espacio de diferencial cuadrática. Hay una prueba de uso de armónicos mapa y este método de continuidad. Usted puede encontrar la prueba en Jost Compacto de las superficies de Riemann.