Interpretación de vector propio generalizado en las órbitas

Question

Primero de todo, esta es mi cuarta pregunta acerca de los sistemas dinámicos en una semana, lo siento por eso.

Considerando lineal bidimensional dinámico (autónoma), las órbitas pueden ser representados en la fase de estado así:

Voy a especificar que ya me las arreglé para resolver las ecuaciones dinámicas en cada caso (en cuanto a valores propios), y la trama órbitas similares.

Mi pregunta es en la tercera imagen: no, no es una doble (positivo) autovalor. La dimensión de la inestable colector es, por tanto,$2$. Es atravesado por un autovector (aquí, $(1,0)$ por ejemplo) y un autovector generalizado.

Mi pregunta es, hay un vínculo entre la forma de las trayectorias y un autovector generalizado? Para el autovector el enlace es bastante obvio (también en el primero y el último de los casos en la figura), pero no soy capaz de mostrar un autovector generalizado de las órbitas.

Gracias

editar: Escribí la dinámica ecuaciones por el complejo conjugado de autovalores, y: - la (onu)estable colector es obviamente bidimensional (estable/inestable colector teorema); - pero nada me impide tratando de encontrar una 1D-submanifold de la (onu)estable colector, mediante la búsqueda de una curva paramétrica de la forma $(x,h(x))$ y la escritura que es invariante ($h$ es escrito como su expansión de Taylor hasta un número finito de grados). Lo interesante es que no hay tal curva!

Como no he leído nada sobre esto, yo estaría dispuesto a tener sus opiniones: en algunos casos (1 y 4 en la figura), la (in)estable colector es de dimensión 2, y dos submanifolds de la dimensión 1, siempre puede ser calculado. Si los autovalores son complejos (no real) (caso 2 en la figura de arriba), la (in)estable colector es de dimensión 2, pero este colector no se puede "descomponer" en dos (onu)estable submanifolds. No estoy seguro de lo que me estoy tomando el sobre al escribir acerca de la descomposición en submanifolds... Resaltar la bienvenida!

Answer 1

Para la concreción veamos

$$x' = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} x.$$

Aquí tenemos

$$x(t) = \begin{bmatrix} e^t & t e^t \\ 0 & e^t \end{bmatrix} x(0).$$

Considere la posibilidad de

$$x(0)=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},$$

es decir, una condición inicial alineado con un autovector generalizado. Entonces tenemos

$$x(t) = \begin{bmatrix} t e^t \\ e^t \end{bmatrix}.$$

Así que la trayectoria satisface $x_1=tx_2$, es decir, el componente de $x(t)$ en la dirección de $e_1$ es cada vez más prominente que en la dirección de $e_2$. En particular, la relación de estos está creciendo linealmente. Por el contrario, si tenemos distintos autovalores positivos, entonces la proporción crece exponencialmente, y si tenemos varios nondefective autovalor (que, en dos dimensiones, sólo se produce por múltiplos de la identidad), entonces la relación se mantiene constante. Así que lo que estamos viendo en las trayectorias en la tercera imagen es que la contribución de $e_1$ es cada vez más grande, pero lo hace más lentamente en comparación con el caso de autovalores distintos.

Dudo que va a ser muy fácil claramente ver un autovector generalizado en una parcela de trayectorias, simplemente porque cualquier defectuosa de la matriz es arbitrariamente cerca de un nondefective de la matriz. Como resultado, la trayectoria de mi ejemplo anterior se ve (en la figura) esencialmente la misma que la trayectoria de una nondefective de la matriz.

Como un ejemplo, las trayectorias del sistema que he descrito anteriormente y

$$x' = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 + 10^{-12} \end{bmatrix} x$$

tendrá un aspecto muy similar para las pequeñas a moderadas $t$, incluso a pesar de que uno es defectuoso y el otro no. De hecho, ver el $x(0)=\begin{bmatrix} 1 \\ 10^{-12} \end{bmatrix}$ en el primer sistema:

$$x(t) = \begin{bmatrix} e^t \left ( 1 + 10^{-12} t \right ) \\ 10^{-12} e^t \end{bmatrix}.$$

Esto toma un tiempo muy largo para que deje de buscar como un múltiplo de $x(0)$, ya que tenemos que esperar para $10^{-12} t$ a "ponerse al día" con $1$.