Las fracciones de Farey en la progresión aritmética

Question

Deje que $ \mathcal {F}_{Q;r,q}=\{ \gamma = \frac {m}{n} | 0 \leq m \leq n \leq Q, \gcd (m,n)=1, n \equiv r \mod q, \gcd (r,q)=1\}$ . Normalmente, sin condición de progresión aritmética, entonces $\# \mathcal {F}_{Q}$ (cardinalidad) $= \varphi (1)+ \varphi (2)+ \varphi (3)+ \cdots + \varphi (Q)$ $= \frac {3Q^2}{ \pi ^2}+O(Q \log Q)$ como $Q \rightarrow \infty $ pero ahora cómo conseguir la cardinalidad para $ \mathcal {F}_{Q;r,q}$ como $Q \rightarrow \infty $ ?

Answer 1

Para todos $b$ coprimo a $a$ con $1 \leq b \leq a$ $$ \sum_ {n \leq x}_{n \equiv b \text { mod a}} \phi (n)=( \frac {3}{ \pi ^2} \prod_ {p \mid a} \frac {p^2}{p^2-1})x^2+O(x \ln (x)).$$ Se puede mostrar fácilmente sin personajes, aunque con algunas herramientas adicionales creo que el término O podría ser mejorado.

Answer 2

Puede encontrar una prueba en el libro Postnikov, A. G. Introducción a la teoría analítica de números Sociedad Matemática Americana, 1988, (ver sección 4.2).