El nombre de "de Moivre la ecuación"

Question

Este artículo se refiere a algo que se llama "De Moivre la ecuación":

$$\sigma_{x} = \sigma / \sqrt{n}$$

Básicamente, se trata de la varianza observada en el tamaño de la muestra a la actual de la varianza de la distribución subyacente.

Yo quería aprender más acerca de esto (supongo que el real de la ecuación es $E[\sigma_x]= \sigma/\sqrt{n}$?), pero no puedo encontrar ninguna referencia a "De Moivre la ecuación" en cualquier lugar.

¿Alguien sabe de un mayor estándar de nombre?

Answer 1

$\newcommand{\var}{\operatorname{var}}$

Uno de los primeros sensible preguntas que una persona sensata le pregunte en un curso de estadística es la razón por la raíz cuadrada media de la desviación se utiliza como una medida de la dispersión en lugar de la media de la desviación absoluta. Con la media de la desviación absoluta, sólo te estás preguntando cómo lejos de la media de la observación de la media de todas las observaciones. Parece que la cosa obvia. Pero en lugar de ello, una medida de dispersión se utiliza en las que las desviaciones obtener el cuadrado antes de que el promedio, y, a continuación, la cuadratura se deshacen después de un promedio. Y ¿por qué?

En el siglo 18, de Moivre, al menos tácitamente, respondió a esa pregunta. Él examinó la cuestión de la probabilidad de que el número de cabezas se observó cuando una moneda es lanzada $1800$ veces en un intervalo de tiempo especificado---dicen que entre $885$$907$.

La respuesta a la pregunta del primer párrafo es este plazas, tenemos aditividad: si estas variables aleatorias son independientes, entonces $$ \var(X_1+\cdots+X_{1800}) = \var(X_1)+\cdots+\var(X_{1800}). $$ Nada de eso funciona con la media de la desviación absoluta. Eso explica por qué no es (como suele) utilizado. El número promedio de cabezas que se obtiene en este experimento es $900$; ahora, de Moivre nos permite saber que la desviación estándar es $\sqrt{450} \cong21.213$.

El número de $\sqrt{450}$ es sólo $\sqrt{1800\cdot1/4\ {}}$ $1/4$ es la varianza de una variable aleatoria que es $0$ o $1$, cada una con una probabilidad de $1/2$. Para la media en lugar de la suma, tendrías $\sqrt{(1/4)/1800}$. Que "de de Moivre de la ecuación".

De Moivre también mostró que la curva en forma de campana está involucrado. Para la probabilidad de que la suma de $X$ satisface $885\le X\le907$, o, equivalentemente,$884<X<908$, busque la probabilidad de que $884.5<X<907.5$ asumiendo $X$ se distribuye de acuerdo a una curva en forma de campana. El estándar de la curva en forma de campana es $y=\text{constant}\cdot e^{-x^2/2}$. Que es una distribución con una media de $0$ y la desviación estándar $1$. De la media de los $900$ y la desviación estándar $21.213$$y=\text{constant}\cdot e^{-((x-900)/21.213)^2/2}$.

De Moivre encontrado la "constante" numéricamente; su amigo James Stirling más tarde la encontró en forma cerrada.

Dudo que el autor cite la intención de la frase "de Moivre la ecuación" debe entenderse como un nombre propio.

Usted puede ser google el término "La Doctrina de Oportunidades". Ese fue el título de de Moivre el libro sobre la teoría de la probabilidad. Él era un Protestante francés, que había huido a Inglaterra para escapar de la persecución, por lo que escribió en inglés.

Para la derivación de la expresión $\sigma/\sqrt{n}$, a cualquiera de un número de la teoría de las estadísticas de libros o libros sobre la teoría de la probabilidad ir a través de él. Hay el uno por de Groot y Schervish, o el uno por Bernard Lindgren.