Tú y yo tenemos cada uno 14 dólares. Lanzo una moneda justa repetidamente; si sale cara te pago un dólar, pero si sale cruz tú me pagas un dólar. En promedio, ¿cuántas veces lanzaré la moneda antes de que uno de nosotros se quede sin dinero?
Sé que la probabilidad de que cada uno de nosotros gane es igual (1/2), pero no tengo ni idea de cuántos lanzamientos deben ser en promedio. Pienso que son 28, pero es solo una suposición.
La idea es calcular el número medio de lanzamientos $m_k$ antes de que termine el juego si tu fortuna al principio del juego es $k$ y la fortuna de tu oponente es $28-k$, para cada entero $k$ entre $0$ y $28.
Luego $m_0=m_{28}=0$ y, para cada $1\leqslant k\leqslant27$, considerando el resultado del primer lanzamiento obtenemos la identidad $m_k=1+\frac12(m_{k-1}+m_{k+1})$. Este sistema lineal se resuelve por $m_k=k\cdot(28-k)$.
El número medio de lanzamientos que estás buscando es $m_{14}=14^2=196$.
Llama a T(n) = la duración promedio de un juego en el que tú y tu oponente comienzan con n unidades de dinero, y ganan o pierden 1 unidad de dinero en cada lanzamiento (1 unidad de tiempo). Entonces estás preguntando por T(14).
Observa que la duración promedio del juego de ganar o perder 14 unidades de dinero cuando las apuestas son de 1 unidad por lanzamiento, y hay un lanzamiento cada unidad de tiempo, es la misma que la duración promedio de un juego de ganar 7 unidades de dinero cuando las apuestas son de 2 unidades por lanzamiento, y hay un lanzamiento cada T(2) unidades de tiempo. Esta idea te permite resolver tu problema y otros similares con casi ningún cálculo.
La idea anterior se escribe como T(14) = T(7)_T(2), y en general, T(a_b) = T(a)T(b).
Para tal relación, T(m) debe ser alguna potencia de m.
es decir, T(m) = m^xporque (a*b)^x = a^x * b^x. [donde * es multiplicación, ^ es exponenciación).
T(2) se puede calcular fácilmente directamente.
Si tú y tu oponente comienzan con 2, hay un 50% de probabilidad de que el juego termine en 2 lanzamientos [es decir, cuando los primeros 2 lanzamientos son iguales, HH o TT], y un 50% de probabilidad de que estén de vuelta donde comenzaron después de 2 lanzamientos (es decir, cuando los primeros 2 lanzamientos son diferentes, HT o TH).
entonces T(2) = .5 * 2 + .5 (T(2) + 2) resolviendo da T(2) = 4.
Entonces T(2) = 2^x = 4, y por lo tanto el exponente x es 2.
entonces tu juego de 14 tiene una duración promedio de 14^2 = 196.
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14^2=196. $ $ $ $
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