$f[A\cup{B}]=f[A]\cup{f[B]}$

Question

Necesito probar esto y estoy bastante seguro de que esto es sencillo.

$$f[A\cup{B}]=f\{x|x\in{A} \text{ or } x\in{B}\}=\{f(x)|x\in{A} \text{ or } x\in{B}\}=f[A]\cup{f[B]}$$

Escribo esto debido a una pequeña confusión con la notación. debería el $f$ distribuir en toda la notación del constructor de conjuntos? En otras palabras, $$f\{x|x\in{A} \text{ or } x\in{B}\}=\{f(x)|f(x)\in{A} \text{ or } f(x)\in{B}\}\;?$$ No creo que este sea el caso ya que la parte derecha son simplemente las condiciones impuestas a $x$ ...

Answer 1

Su argumento inicial es correcto.

Tienes razón en que tu segunda afirmación, la que va seguida del signo de interrogación, NO es cierta:

$$f\{x|x\in{A} \text{ or } x\in{B}\}\neq \{f(x)|f(x)\in{A} \text{ or } f(x)\in{B}\}$$

Nos interesa el $x \in A$ o el $x \in B$ . Muy a menudo, tenemos $f: A \to X$ , donde $x \in A$ pero $f(x) \notin A$ sino que $f(x) \in X$ .

Tal vez usted estaba pensando en el conjunto $\{f(x) \mid f(x) \in f[A] \text { or } f(x) \in f[B]\}$