¿Qué hace un buen ordenamiento de $\mathbb{R}$ ¿Qué aspecto tiene?

Question

Posible duplicado:
¿Existe una ordenación bien conocida de los reales?

Me cuesta hacerme a la idea de lo que supone una buena ordenación de $\mathbb{R}$ parece. He visto la presentación de una buena ordenación de $\mathbb{Z}$ es decir, $0, -1, 1, -2, 2, \ldots$ pero ¿cómo se podría hacer este tipo de ordenación con $\mathbb{R}$ donde los números no son contables de esa manera?

Editar: Supongo que lo que estoy preguntando es si $0, -\epsilon , \epsilon, -2\epsilon, 2\epsilon,\ldots$ podría considerarse como una buena ordenación de $\mathbb{R}$ de forma similar.

Answer 1

Nadie puede hacerse a la idea de que un buen ordenamiento de $\Bbb R$ y nadie sabe qué aspecto tiene. Es imposible exhibirlo.

$0, -\epsilon , \epsilon, -2\epsilon, 2\epsilon,\ldots$ no puede ser una buena ordenación de $\Bbb R$ porque es contable. (En particular, omite $\epsilon\over 2$ .) Una buena ordenación de $\Bbb R$ debe contener una secuencia incontable de elementos de $\Bbb R$ lo que significa que es al menos tan complicado como $\omega_1$ el ordinal incontable más pequeño. Esto significa que tendría que proporcionar no sólo el primer $\omega$ elementos $0, -\epsilon , \epsilon, -2\epsilon, 2\epsilon,\ldots$ sino una secuencia siguiente correspondiente a $\omega+1\ldots 2\omega$ y así sucesivamente para cada ordinal contable. Los ordinales contables son muy complicados.

Answer 2

No sabemos cómo es una buena ordenación de los números reales. No sólo porque es un objeto no constructivo (es decir, su existencia es demostrable, pero no descriptible en ZFC), sino también porque el longitud de esta ordenación es indecidible en ZFC.

A saber, supongamos que los números reales pudieran estar bien ordenados. Tomemos un ordenamiento de longitud mínima. ¿Es un orden de longitud $\omega_1$ ? $\omega_5$ ? $\omega_{\omega_{\omega_1}}$ ?

Los axiomas de ZFC no son suficientes para calcular la longitud exacta del buen ordenamiento de los reales; y los axiomas de ZF no son suficientes para probar la existencia de tal buen ordenamiento (pero ya escribí bastante sobre esto en los posts enlazados).

¿Y los elementos? Bueno, eso es imposible de saber si el conjunto no es canónicamente bien ordenados, como los números naturales. Considera los racionales, esos son bien ordenables (es un conjunto contable). ¿Cuál es el menos racional en la ordenación? ¿Cuál es su sucesor? No podemos realmente contar. Siempre podemos elegir una ordenación que su primer elemento sea $0$ y la segunda es $42$ ; podemos describir algunos elementos más; incluso podemos describir piezas más largas. Sin embargo, no hay canónico manera de hacerlo.

Del mismo modo, incluso si los números reales están bien ordenados, no podemos señalar un buen orden en particular. Siempre podemos tomar una permutación de los números reales para definir una nueva ordenación.

En cualquier caso, describir sólo una parte contable de los números reales no es suficiente para describir una buena ordenación de todos ellos, porque el teorema de Cantor nos dice que los números reales son incontables.