Tenga en cuenta que utilizo $n$ donde la pregunta utiliza $n+1$ ya que no quería cargar con todo el $+1$ 's, así que aquí estamos viendo $S^{2n-1} = \mathrm{SO}(2n) / \mathrm{SO}(2n-1) \subset \mathbb{C}^n$ .
En primer lugar, hay que tener en cuenta que el mapa $f(r_1 e^{i \phi_1}, \dots, r_n e^{i \phi_n}) = (r_1 e^{i (\phi_1 + \alpha)}, r_2 e^{i \phi_2}, \dots, r_n e^{i \phi_n})$ es un elemento de $\mathrm{SO}(2n)$ , es sólo la rotación por $\alpha$ en el $z_1$ avión. Está dada por la matriz en $GL(n, \mathbb{C})$ , donde $I$ es el $(n-1) \times (n-1)$ matriz de identidad: $$ \begin{pmatrix} e^{i \alpha} & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} $$ Dejemos que $A_i$ denota la rotación por $\alpha_i$ en el $z_i$ plano. Por lo tanto, su relación de equivalencia es la misma que el cociente por un determinado subgrupo de $\mathrm{SO}(2n)$ .
Obsérvese que el subgrupo generado por todas las rotaciones en el $z_i$ es un toro, es decir, todas las matrices diagonales en $\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$ con entradas diagonales de longitud $1$ Llamamos a este subgrupo $T$ .
No estoy seguro de si estás considerando el cociente por el subgrupo generado por $\{ A_1, \dots, A_n \}$ o por el subgrupo generado por $A = A_1 \cdot \dots \cdot A_n$ . En el sitio web $A$ es la matriz diagonal: $$ \begin{pmatrix} e^{i \alpha_1} \\ & e^{i \alpha_2} \\ && \ddots\\ &&& e^{i \alpha_n} \end{pmatrix} $$
En el primer caso, considere $\alpha_i \in \mathbb{R} \setminus \pi \mathbb{Q}$ para algunos $i$ se obtiene que cada clase de equivalencia $\phi_i + \alpha_i \mathbb{Z}$ es denso en $S^1$ pero todavía tienes incontables clases de equivalencia en $S^1$ . Pero todas estas clases de equivalencia serán indistinguibles en la topología del cociente, en el sentido de que si se tiene un conjunto abierto cualquiera, éste no contiene ninguna de ellas o las contiene todas. Por tanto, el espacio cociente no es Hausdorff. Podemos limitarnos a las consideraciones sobre $S^1$ así ya que, cotizando por el subgrupo generado por el individuo $A_i$ es igual a las relaciones de equivalencia sobre los ángulos dadas por $(\phi_1, \dots, \phi_n) \sim (\phi_1 + k_1 \alpha_1, \dots, \phi_n + k_n \alpha_n)$ y entonces podemos arreglar el $r_i$ y el $k_j$ para $j \neq i$ ya que no nos arriesgamos a colapsar las clases de equivalencia en el $\phi_i$ girando en el parámetro $\phi_j$ parámetros. Por lo tanto, el cociente de la esfera también será no-Hausdorff.
Así que en el primer caso probablemente quieras que todos los $\alpha_i$ sean múltiplos racionales de $\pi$ .
En el segundo caso, para un $r_i$ Si se observa un toroide de n dimensiones y se hace el cociente por el subgrupo generado por un solo elemento, la condición que se menciona se parece mucho a $2\pi, \alpha_1, \dots, \alpha_n$ siendo linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ que es exactamente la condición equivalente al subgrupo generado por $A$ no siendo denso en el toro de las rotaciones. Esto se deduce de Teorema de aproximación de Kronecker Al final de esa página se encuentra exactamente la especialización que interesa en este caso.
Pero algo más fuerte que la dependencia lineal sobre $\mathbb{Q}$ es necesario. Piensa en $n=2$ , $\alpha_1 = \alpha_2 = \frac{1}{2}$ . Esto es linealmente dependiente sobre $\mathbb{Q}$ pero las visitas $0$ infinitamente a menudo. En el sentido de que para cualquier $m$ y $\epsilon > 0$ podemos encontrar $M > m$ tal que $(\frac{M}{2}, \frac{M}{2}) \in B_\epsilon(0)$ ya que $e^{i \frac{1}{2} \mathbb{Z}}$ es denso en $S^1$ . Y teniendo en cuenta $n=3$ , $\alpha_1 = \alpha_2 = \frac{1}{2}$ , $\alpha_3 = \frac{\pi}{2}$ estos parámetros cumplen el requisito exacto sugerido pero siguen dando un cociente no Hausdorff.
Podemos generalizar este argumento considerando $\alpha_i \in \mathbb{R} \setminus \pi \mathbb{Q}$ para algunos $i$ . Entonces el subgrupo generado por $A$ es no finito, considere $H = \overline{\langle A \rangle}$ el cierre del subgrupo generado por $A$ es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie compacto, por lo tanto es un grupo de Lie compacto, es no finito y abeliano, por lo tanto los componentes de identidad $H_0$ es un toroide de al menos 1 dimensión. Vemos $H / \langle A \rangle$ es incontable pero tiene la topología trivial ya que $\langle A \rangle$ es denso en $H$ . Mira el subconjunto cerrado $H . p \subset S^{2n-1}$ para $p \in S^{2n-1}$ Esto está cerrado, ya que $H$ es compacto. Si elegimos $p$ de tal manera que todos los $r_i > 0$ entonces el estabilizador en $T$ de $p$ es $e$ . Por lo tanto, $H . p$ es un submanifold de $S^{2n-1}$ difeomorfo a $H$ por lo que cuando cotizamos por $A$ obtenemos el mismo comportamiento topológico que en el grupo. Así que el cociente de la esfera no puede ser Hausdorff.
Por lo tanto, es probable que sólo nos interesen los múltiplos racionales de $\pi$ suponiendo que lo anterior se compruebe.
Si considera que $\alpha_1 = \frac{p}{q}2\pi$ y $\alpha_i = 0$ para $i > 1$ , $\frac{p}{q}$ una fracción reducida. Ahora es bastante fácil ver que $A_1$ tiene orden $q$ simplemente tomando potencias cada vez mayores, por lo que genera un subgrupo cíclico de orden $q$ . Así que en este caso $\Gamma \simeq \mathbb{Z}_q$ .
Cuando $\alpha_i = \frac{p_i}{q_i} 2\pi$ con $\frac{p_i}{q_i}$ reducido y $p_i \neq 0$ . Vemos que $\langle A_1, A_2, \dots, A_n \rangle \simeq \mathbb{Z}_{q_1} \times \dots \times \mathbb{Z_{q_n}}$ mientras que $\langle A \rangle \simeq \mathbb{Z}_{\mathrm{lcm}(q_1, \dots, q_n)}$ . Esperemos que ahora sea un ejercicio fácil para ver qué pasa con $p_i = 0$ para algunos de los $i$ 's.
Sé que esto no responde a todas tus preguntas pero espero que dé alguna idea, seguiré pensando en el problema.
