He intentado calcular la evolución del operador en su caso hace unos años. Quería mostrar que tal Hamilton nunca ha estado cuántico en cualquier momento. La solución que he encontrado es que este modelo sólo tiene un estado coherente en el tiempo infinito. Yo todavía no sé acerca de los tiempos intermedios, incluso si la solución a continuación permiten calcular lo que usted desea en cualquier momento. Una perturbación método se puede encontrar en la Landau (en la mecánica cuántica). También, el resultado a continuación puede encontrar en Gardiner y Zoller libro sobre quantum ruido, si recuerdo correctamente. Por último, la más antigua de estudio de esta cuestión que he encontrado es un análisis por Carruthers y Nieto (1965) ; uso de la función de Green para mostrar que en un tiempo infinito, un oscilador armónico cuántico es descrito por un estado coherente.
He utilizado el llamado Mentira método Algebraico (ver Wei y Norman, 1963 para una buena revisión ; mi hoja de cálculo es auto-contenida, creo) porque es un método general que permite calcular la evolución del operador con bastante facilidad para simple de Hamilton. Este método no es tan conocido
Antes de ir más lejos en la derivación, permítanme dar las referencias (si es que carecen por favor, hágamelo saber) he utilizado
- Carruthers, P., & Nieto, M. (1965). Coherente de los Estados y la Obligó a Quantum Oscilador. American Journal of Physics, 33(7), 537. doi:10.1119/1.1971895
- Wei, J., & Norman, E. (1963). Mentira Algebraicas Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales. Diario de la Física Matemática, 4(4), 575. doi:10.1063/1.1703993
- Lo, C. F. (1991). La generación de desplazados y la apretó número de estados por parte de un general por tiempo-dependiente del oscilador. Physical Review A, 43(1), 404-409. doi:10.1103/PhysRevA.43.404
Ahora mi archivo LaTeX (yo no lo intente editarlo para el presente de la pantalla, por lo que podría darse el caso de que algunos comentarios son totalmente estúpido):
Entonces, supongamos que tratar el siguiente Hamiltoniano
$$
H=\hslash \omega \hat{a}^{+}\hat{a}+f\left( t\right) \hat{a}^{+}+f^{\ast
}\left( t\right) \hat{a}
$$
para cualquier función dada $f$ $f^{\ast }$ dependiendo de la hora, y con $\hat{
a}$ and $\hat{a}^{+}$ the annihilation and creation bosonic at frequency $
\omega $ modo de operador. La central unitaria de tiempo de evolución de este Hamiltoniano puede
ser por escrito, de acuerdo a la Mentira algebraicas método de resolución de $H\left( t_{
\text{f}}\right) =\hat{U}^{+}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right)
.H\left( t_{\text{i}}\right) .\hat{U}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right)
$ con el propagador (ver \cite{Wei1963} para el primer matemático
tratamiento, y \cite{Lo1993} para el ejemplo de la cuántica oscilador) :
$$
\hat{U}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =e^{-\mathbf{i}\hat{a}^{+}
\hat{a}\omega \left( t_{\text{f}}-t_{\text{i}}\right) }e^{\hat{a}^{+}\alpha
\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) }e^{-\hat{a}\alpha ^{\ast }\left( t_{
\text{f}},t_{\text{i}}\right) }e^{-\left\vert \alpha \left( t_{\text{f}},t_{
\text{i}}\right) \right\vert ^{2}/2}e^{\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}
}\right) }
$$
con
$$
\alpha \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =\int_{t_{\text{i}}}^{t_{
\text{f}}}f\left( t\right) e^{\mathbf{i}\omega t}\dfrac{dt}{\mathbf{i}
\hslash }\text{ y }\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =-
\mathbf{i}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\text{Im}\left\{ \alpha \left( \tau \right)
\dfrac{\partial }{\partial \tau }\alpha ^{\ast }\left( \tau \right) \right\}
d\tau
$$
actuando como dos parámetros de la central unitaria de transformación.
Ahora, tenga en cuenta el caso en particular, cuando ambos $t_{\text{i}}$ $t_{\text{f}}$
tienden a infinito, $\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) $ promedios
a cero :
$$
\fbox{$\hat{U}\left( +\infty ,-\infty \right) =e^{\hat{a}^{+}\alpha }e^{-
\hat{a}\alpha ^{\ast }}e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}=e^{\hat{a}
^{+}\alpha\hat{a}\alpha ^{\ast }}=\hat{D}\left( \alpha \right) $}
$$
donde $\alpha =f\left( \omega \right) /\mathbf{i}\hslash $ $\omega $
componente de la transformada de Fourier de $f\left( t\right) $, dividido por el
quantum tamaño de la caja de $\hslash $. La central unitaria de la evolución de un sistema cuántico
conducido por un clásico de la fuerza por lo tanto se corresponde con el desplazamiento del operador de
coherente de los estados, tal como se encuentra en \cite{Carruthers1965}. Entonces, para una suficientemente
largo tiempo de interacción, la monomodo oscilador armónico cuántico transforma
a la cuasi-clásico del oscilador.
Prueba con la Mentira método algebraico
Frist, rewritte el Hamiltoniano $H$
$$
H\left( t\right) =a_{0}\hat{a}^{+}\hat{a}+a_{+}\left( t\right) \hat{a}
^{+}+a_{-}\left( t\right) \hat{a}
$$
donde $a_{0}$ no depende del tiempo. Entonces, la observación de que los operadores de $\hat{
1}$, $\hat{a}^{+}\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$ and $\hat{a}$ una forma cerrada de álgebra en la
Mentira sens, \emph{es decir,} con respecto a sus conmutadores :
$$
\left[ \hat{a}^{+}\hat{a},\hat{a}^{+}\right] =\hat{a}^{+}~;~\left[ \hat{a}
^{+}\hat{a},\hat{a}\right] =-\hat{a}~;~\left[ \hat{a},\hat{a}^{+}\right] =
\hat{1}
$$
Entonces, la observación de que la Schr\"{o}dinger ecuación
$$
H\left( t\right) \left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle =\mathbf{i}
\hslash \dfrac{\partial }{\partial t}\left\vert \Psi \left( t\right)
\right\rangle \Rightarrow \left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle =
\hat{U}\left( t\right) \left\vert \Psi \left( 0\right) \right\rangle
$$
aceptar la central unitaria de operador $\hat{U}\left( t\right) $ como los dependientes del tiempo
solución con $\hat{U}\left( 0\right) =\hat{1}$. Así tenemos los siguientes
ecuación :
$$
H\left( t\right) \hat{U}\left( t\right) =\mathbf{i}\hslash \dfrac{\partial }{
\partial t}\hat{U}\left( t\right) \Rightarrow H \left(t\right)=\mathbf{i}
\hslash\frac{\partial U}{\partial t}U^{+}\left(t\right)
$$
correspondiente a la Schr\"{o}dinger. La segunda expresión se obtiene
a partir de la primera por la multiplicación por $U^{+}$ a la derecha. Ahora, debido a que
todos los operadores que aparecen en $H\left( t\right) $ forma un álgebra de la Mentira, la
forma general de la $\hat{U}\left( t\right) $ es :
$$
\hat{U}\left( t\right) =e^{\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}
}e^{\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}e^{\alpha _{-}\left( t\right)
\hat{a}}e^{\alpha \left( t\right) \hat{1}}
$$
donde las funciones $\alpha \left( t\right) $, $\alpha _{0}\left( t\right) $
, $\alpha _{+}\left( t\right) $ $\alpha _{-}\left( t\right) $ tienen que ser
encontrar. Ser carfeull, estos $\alpha $'s no tienen nada que ver con el $\alpha $
se define en el texto principal. Para hacer eso, primero vamos a calcular
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial \hat{U}}{\partial t}\hat{U}^{+}&=&\left[ \dfrac{\partial
\alpha _{0}}{\partial t}\hat{a}^{+}\hat{a}+\dfrac{\partial \alpha }{\partial
t}\right] +\dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}e^{\alpha _{0}\left(
t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}^{+}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}
^{+}\hat{a}} \\
&&+\dfrac{\partial \alpha _{-}}{\partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right)
\hat{a}^{+}\hat{a}}e^{\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}\hat{a}
e^{-\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}e^{-\alpha _{0}\left( t\right)
\hat{a}^{+}\hat{a}} \\
&=&\left[ \hat{a}^{+}\hat{a}\dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}+\dfrac{
\partial \alpha }{\partial t}+\hat{a}^{+}\dfrac{\partial \alpha _{+}}{
\partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right) }-\alpha _{+}\left( t\right) \dfrac{
\partial \alpha _{-}}{\partial t}+\hat{a}\dfrac{\partial \alpha _{-}}{
\partial t}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) }\right]
\end{eqnarray*}
con la ayuda de las siguientes relaciones :
$$
e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}=\hat{a}e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}
}e^{-\lambda }~;~e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}^{+}=\hat{a}
^{+}e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}e^{\lambda }\text{ y }e^{\lambda \hat{a}
^{+}}\hat{a}=\left( \hat{a}-\lambda \right) e^{\lambda \hat{a}^{+}}
$$
además de la definición de operador unitario $UU^{+}=\hat{1}$. Podemos
equivalentemente, el uso de la conocida Hadamard lema, el cual establece que
$$
e^{\hat{S}}\hat{A}e^{-\hat{S}}=\hat{A}+\left[\hat{S},\hat{A}\right]+\frac{1}{
2!}\a la izquierda[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{A}\right]\right]+\frac{1}{3!}\a la izquierda[\hat{S
},\left[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{A}\right]\right]\right]+\ldots
$$
y las relaciones de conmutación. Generalmente, por simple grupos, esta es
más rápido debido a que la serie tiene sólo null componentes después de pocas iteraciones.
La inyección de la anterior $\left(\partial \hat{U} /\partial t\right)U^{+}$ en
el Schr\"{o}dinger ecuación $H\left( t\right)=\mathbf{i}\hslash
\left(\partial \hat{U}/\parcial t\right)U^{+}$, tenemos :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{0}=a_{0} \\
\dot{\alpha}-\alpha _{+}\left( t\right) \dot{\alpha}_{-}=0 \\
\mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{-}e^{-\alpha _{0}\left( t\right)
}=a_{-}\left( t\right) \\
\mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{+}e^{\alpha _{0}\left( t\right)
}=a_{+}\left( t\right)
\end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
\alpha _{0}=a_{0}\left( t-t_{\text{i}}\right) /\mathbf{i}\hslash \\
\\
\alpha _{-}\left( t\right) =\displaystyle\int_{t_{\text{i}}}^{t}a_{-}\left(
\tau \right) e^{a_{0}\tau }\dfrac{d\tau }{\mathbf{i}\hslash } \\
\\
\alpha _{+}\left( t\right) =\displaystyle\int_{t_{\text{i}}}^{t}a_{+}\left(
\tau \right) e^{-a_{0}\tau }\dfrac{d\tau }{\mathbf{i}\hslash }
\end{array}
\right.
$$
donde $\dot{\alpha}_{0}=\partial \alpha _{0}/\partial t$, $\dot{\alpha}=$...
y la equiparación de cada operador a sí mismo en cada lado de la Schr\"{o}dinger
de la ecuación. Pensábamos que los $t_{\text{i}}$ es el tiempo inicial, donde $\alpha
_{0}\left( t=t_{\text{i}}\right) =0$, $\alpha \left( t_{\text{i}}\right) =0$
, ... porque unitario de la evolución operador debe verificar que $\hat{U}\left(
t=0\right) =\hat{U}\left( t,t\right) =\hat{1}$, for the single time $\hat{U}
\left( t\right) $ or the two times $\hat{U}\left( t_{\text{i}},t_{\text{f}
}\right) $ unitary evolution operator. Now let us find the phase factor $
\alpha \left( \tau \right) $. En virtud de una integración por partes, tenemos
:
\begin{eqnarray*}
\alpha \left( t\right) &=&\int_{t_{\text{i}}}^{t}\alpha _{+}\left( \tau
\right) \dot{\alpha}_{-}\left( \tau \right) d\tau =\left[ \alpha _{+}\left(
t\right) \alpha _{-}\left( t\right) \right] _{t_{\text{i}}}^{t}-\int_{t_{
\text{i}}}^{t}\dot{\alpha}_{+}\left( \tau \right) \alpha _{-}\left( \tau
\right) d\tau \\
&=&\int_{t_{\text{i}}}^{t}\dfrac{\alpha _{+}\left( t\right) \dot{\alpha}
_{-}\left( t\right) -\dot{\alpha}_{+}\left( t\right) \alpha _{-}\left(
t\right) }{2}dt+\dfrac{1}{2}\left[ \alpha _{+}\left( t\right) \alpha
_{-}\left( t\right) \right] _{t_{\text{i}}}^{t}
\end{eqnarray*}
para una forma más conveniente. Si esta última forma puede ser más complejo que el
de los anteriores, parece ser más fácil evaluar en nuestro caso, porque $
\alpha _{-}\left( t\right) =-\alpha _{+}^{\ast }\left( t\right) $ (este es
cierto siempre y cuando el soporte elegido Hamiltonien es Eremíticas), así que :
$$
\alpha \left( t\right) =-\mathbf{i}\int_{t_{\text{i}}}^{t}\text{Im}\left\{
\alpha _{+}\left( \tau \right) \dot{\alpha}_{+}^{\ast }\left( \tau \right)
\right\} d\tau\dfrac{1}{2}\left[ \left\vert \alpha _{+}\left( \tau \right)
\right\vert ^{2}\right] _{t_{\text{i}}}^{t}
$$
que es la forma usada en el texto principal. Ahora, debido a $t_{\text{i}}$ es la
tiempo inicial, $\alpha _{+}\left( t_{\text{i}}\right) =0$, y por lo tanto $\left[
\left\vert \alpha _{+}\left( \tau \right) \right\vert ^{2}\right] _{t_{\text{
i}}}^{t}=$ $\left\vert \alpha _{+}\left( t\right) \right\vert ^{2}$. Comentario
que la expresión anterior es sólo una de las varias posibilidades para
express $\alpha\left(t\right)$. Tenemos en general
\begin{eqnarray*}
\alpha\left(t\right)&=&-\int\alpha_{+}d\alpha_{+}^{*}=-\int\alpha_{-}^{*}d
\alpha_{-} \\
&=&-\int\alpha_{-}d\alpha_{-}^{*}+\left\vert\alpha_{-}\right\vert^{2}=-\int
\alpha_{+}^{*}d\alpha_{-}+\left\vert\alpha_{+}\right\vert^{2}
\end{eqnarray*}
para esta fase plazo.
