Acerca de una función polinómica particular

Question

Sea$f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ una función tal que$x\mapsto f(x,a)$ y$x\mapsto f(a,x)$ son funciones polinomiales.

Demuestre que si el grado de los dos polinomios anteriores es siempre$\le N$,$f$ se puede escribir como un polinomio$P(x, y)$.

Answer 1

Deje $A\subset\mathbb{Z}$ tal que $|A|=N+1$ (por ejemplo, $A=\{0,1,\ldots,N\}$) y considerar el polinomio $$P(x,y)=\sum_{(m,n)\in A\times A}\left(f(m,n)\prod\limits_{s\in A-\{m\}}\frac{(x-s)}{(m-s)}\prod\limits_{t\in A-\{n\}}\frac{(y-t)}{(n-t)}\right)$$

Es un análogo de la interpolación de Lagrange polinomio en dos dimensiones:

• (Obviamente), es un polinomio de grado $\leq 2N$.
• Coincide con (= interpola) $f(x,y)$ en todos los puntos de $A\times A$: Si $(x,y)\in A\times A$,$P(x,y)=f(x,y)$. Esto se deduce fácilmente a partir de la observación de que al menos uno de los productos en paréntesis es igual a cero para todos los $(m,n)\in A\times A$ otros de $(x,y)$.

Pretendemos que en realidad $P(x,y)=f(x,y)$ todos los $(x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, no sólo por $(x,y)\in A\times A$:

• Si tomamos cualquier fija $n\in A$, la función de $x\mapsto f(x,n)$ es un polinomio de grado $\leq N$ según el enunciado del problema. Sabemos que este polinomio coincide con el polinomio de $x\mapsto P(x,n)$ en cada uno de $(N+1)$ diferentes puntos de ($x \in A$), por lo que deben ponerse de acuerdo para todos $x\in\mathbb{Z}$. En otras palabras, $f(x,y)=P(x,y)$$(x,y)\in \mathbb{Z}\times A$.
• Ahora, tome un fijo $m\in Z$. La función de $y\mapsto f(m,y)$ es un polinomio de grado $\leq N$ y que coincide con el polinomio de $y\mapsto P(m,y)$ $(N+1)$ diferentes puntos de ($y\in A$), por lo que al igual que antes, deben ser idénticas. Por lo tanto, $f(x,y)=P(x,y)$$(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Q. E. D.

El grado del polinomio $P(x,y)$ está garantizado para ser $\leq 2N$ y hay casos en los que esta obligado es alcanzado (por ejemplo, si $f(x,y)=xy$, podemos tomar $N=1$, pero no hay manera de expresar esta función mediante un polinomio de grado menor que $2=2N$). Sin embargo, cada uno de una sola variable en el polinomio $P(x,y)$ sólo es elevado a $N$-ésima potencia de a lo más; es la mezcla de términos de la forma $x^ky^j$ (de grado $k+j$) que causa el total grado del polinomio para que puedas llegar a $2N$.