Estoy tratando de ver por qué la ecuación$(1-t)^{-d}= \Sigma_{k=0}^\infty {d+k-1 \choose d-1} t^k$ se mantiene en el anillo de la serie de potencia$\mathbb{Z}[[t]]$. Supongo que es un argumento de recuento sobre el número de maneras de recoger$k$ objetos de$d$ barriles pero no puedo verlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Esta fórmula se utiliza en la página 117 de Atiyah Macdonald, btw. ¡Gracias!
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CGH
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Si desea que el recuento de argumento:
$$(1-t)^{-d} = (1 + t + t^2 + ...)^d$$
así, una contribución a la $t^k$ plazo en el producto proviene de la elección de términos $t^{a_1}, t^{a_2}, \dots, t^{a_d}$ en los diversos factores que $a_1 + a_2 + \cdots a_d = k$. Una solución a esta ecuación, con cada una de las $a_i \geq 0$, pueden ser codificados por una cadena de guiones y puntos, donde se escribe la $a_1$ guiones, luego un punto, $a_2$ guiones, un punto, ..., un punto, $a_d$ guiones. (E. g. $3 + 0 + 1 + 2 = 6$ , el resultado es $--- \cdot \cdot- \cdot --$.) Coversely, una cadena determina una solución.
Por lo tanto, el coeficiente de $t^k$ es el número de este tipo de soluciones, que es el número de cadenas de longitud $d - 1 + k$ contiene $k$ guiones y $d-1$ puntos, produciendo el resultado deseado.
GmonC
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Creo que usted debería ver esta identidad como una extensión del teorema del binomio para exponentes negativos: el coeficiente binomial $\binom{d+k-1}{d-1}=\binom{d+k-1}k$ (que cuenta a la $k$-multisets elegido de $d$) a menudo está escrito en términos de un binomio coeffcient con el negativo de la parte superior del índice: $$ (-1)^k\binom{d+k-1}k=\binom {d}k $$ (usted puede tomar esto como definición de $\binom{-d}k$, o demostrar fácilmente que si se definen $\binom nk=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ cualquier $n$, e $k\in\mathbf N$). Lo más básico que sigue siendo válida con esta relación $\binom n{k-1}+\binom nk=\binom {n+1}k$$k>0$, como se puede verificar fácilmente.
Su identidad se convierte entonces en $$ (1-t)^n=\sum_{k\geq0}\binom nk(-t)^k $$ para $n=-d$.
Mientras esto equivale simplemente a la reformulación de la pregunta de otra manera, sugieren una prueba por inducción, así como usted probablemente haría para probar la costumbre teorema del binomio. La diferencia es que ahora la disminución de la inducción de partida en $n=0$ (para que la nueva declaración es verdadera) es llamado. Así que supongamos $n<0$ y el resultado demostró por $n+1$. Multiplicando por la RHS $(1-t)$ uno se $$ (1-t) \sum_{k\geq0}\binom nk(-t)^k =1(-t)^0+\sum_{k>0}(\binom n{k-1}+\binom nk)(-t)^k =\sum_{k\geq0}\binom {n+1}k (t)^k = (1-t)^{n+1} $$ por la hipótesis de inducción. Ahora dividir ambos lados por $(1-t)$.
Una pequeña nota, la ecuación original en la pregunta no se sostiene por $d=0$, al menos no con la convención habitual de los coeficientes binomiales con entero negativo menor índice (que es llevarlos $0$ siempre): el que se aplica la ecuación de $\binom{d+k-1}{d-1}=\binom{d+k-1}k$ a continuación, se produce un error por $d=0=k$. Más en general, esta simetría no es válida cuando los coeficientes binomiales son extendidos para permitir que los índices negativos. Por esta razón prefiero que indica la relación con $\binom{d+k-1}k$ en lugar de $\binom{d+k-1}{d-1}$ si usted insiste en evitar los coeficientes binomiales con índices negativos.
