¿Es la órbita de un conjunto finito de números algebraicos bajo la acción del grupo galois absoluto finito?

Question

Revisión algebraica de cierre $\bar{\mathbf{Q}}$$\mathbf{Q}$.

Deje $B\subset \mathbf{P}^1_{\bar{\mathbf{Q}}}$ ser un cerrado subscheme de cardinalidad finita.

Deje $K$ ser un campo de número tal que $B$ puede ser definido a lo largo del $K$. Deje $B_K$ ser un cerrado subscheme de $\mathbf{P}^1_K$ de manera tal que el cambio de base de a$\bar{\mathbf{Q}}$$B$.

Es la órbita de $B_K$ bajo la acción de la absoluta grupo de Galois Gal$(\bar{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ finito? Es un cerrado subscheme?

La respuesta es trivialmente sí si $K=\mathbf{Q}$. Espero que la cardinalidad de la órbita ser menor o igual a $[K:\mathbf{Q}]\cdot$$B$% en general. Pero, ¿por qué?

Answer 1

No sé de cerrado subschemes, pero yo sé algo acerca de los números algebraicos, y el OP me asegura que en los comentarios de que no hay mucha diferencia, así que voy a responder a la pregunta del título. Un conjunto finito de números algebraicos genera un número finito de extensión de los racionales, que tiene una normal de cierre, que también es finita y extensión de los racionales, y cada elemento de la absoluta Galois grupo debe tomar cada uno de un número finito de números algebraicos a uno de sus un número finito de conjugados en este normal de cierre, así que, sí, la órbita de un conjunto finito de números algebraicos bajo la acción de la absoluta Galois grupo es finito.