Acabo de terminar de leer Hartshorne, Capítulo 1, Sección 6, y tengo algunas preguntas sobre curvas definidas sobre un subcampo de un algebraicamente cerrado de campo. Por simplicidad, vamos a $k$ ser un perfecto campo, $\overline{k}$ fijo algebraica de cierre.
1) Vamos a $E$ función de campo de la trascendencia grado 1 sobre k. A continuación, $\overline{E}=E\cdot\overline{k}$ es una función de campo de la trascendencia grado 1 $\overline{k}$, y por lo tanto (manteniendo la notación de Hartshorne) $C_{\overline{E}}$ es isomorfo a un no-singular curva proyectiva, $X$ decir. Es $X$ necesariamente definidos sobre los $k$?
2) si $\varphi:X\rightarrow Y$ es un morhpism de curvas y $X$ se define sobre $k$, entonces es $Y$? La misma pregunta pero con $\varphi$ un birational mapa.
Cualquier ayuda que se agradece mucho (como siempre).
