Uso de suelo, techo, raíz cuadrada y funciones factoriales para obtener números enteros

Question

Así, hace unos días, se me presentó la "Cuatro" de nuevo. El objeto del juego es el uso de cuatro 4 para producir como muchos enteros como usted puede. Está permitido el uso de la suma, resta, multiplicación, división, raíz cuadrada, y factorial funciones, además de concatenación (44), el uso de un punto decimal (.4), y, posiblemente, el piso y el techo de las funciones. Con estas capacidades, se puede obtener todos los números enteros entre 1 y 156 y mis amigos y yo aún no se ha hecho todavía. Lo que es particularmente útil es la de ser capaz de definir una amplia gama de enteros con sólo uno de cuatro y el único-funciones de entrada. Por ejemplo...

$1 = \lceil .4 \rceil$

$2 = \sqrt{4}$

$3 = \left\lceil \sqrt{\sqrt{4!}} \;\;\right\rceil$

$4 = 4$

$5 = \left\lceil \sqrt{4!} \right\rceil$

$6 = \left\lceil \sqrt{\sqrt{4!}} \;\;\right\rceil!$

$7 = \left\lceil \displaystyle\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{ \left\lfloor \sqrt{ \;\;\left\lfloor \sqrt{\sqrt{ \left\lceil \sqrt{4!} \right\rceil ! }} \right\rfloor !!\;\; } \right\rfloor ! }}}}} \;\;\right\rceil$

De forma más legible, aunque menos impresionante, conjunto $$T=\sqrt{ \left\lceil \sqrt{4!} \right\rceil ! }\qquad S=\sqrt{ \;\left\lfloor \sqrt{T\; } \right\rfloor !!}\qquad R=\sqrt{\sqrt{\sqrt{ \left\lfloor S \right\rfloor ! }}}\qquad;$$ a continuación,$7=\left\lceil \displaystyle\sqrt{\sqrt{R}} \;\;\right\rceil$.

$8 = \left\lfloor \sqrt{\sqrt{ 7! }} \right\rfloor$

$9 = \left\lceil \sqrt{\sqrt{ 7! }} \;\;\right\rceil$

$10 = \left\lfloor \sqrt{ \left\lceil \sqrt{ 4!} \right\rceil ! } \right\rfloor$

$11 = \left\lceil \sqrt{ \left\lceil \sqrt{ 4!} \right\rceil ! } \right\rceil$
...

Yo no he visto por uno de 12, pero dudo que iba a ser difícil encontrarlo. Por lo tanto, mi pregunta es:

Is it possible to express every integer using only a single four and any number of floor, ceiling, square root, and factorial functions?

Answer 1

He numéricamente comprobado que esto es posible para todos los números hasta el 208. He aquí una heurística argumento de por qué nos puedes esperar que sea posible para todos los números:

Después de la última factorial, el resto de las operaciones son los pisos, los techos y las raíces cuadradas. El número natural $n$ es accesible a partir de un número $m$ el uso de estas operaciones iff $(n-1)^{2^k}<m<(n+1)^{2^k}$ algunos $k\in\mathbb N_0$: Si esta condición se cumple, podemos dibujar $k$ raíces cuadradas y, a continuación, tomar el piso o en el techo para llegar a $n$; si no se ha cumplido, luego en el suelo o en el techo entre el dibujo de las raíces cuadradas no ayuda, ya que nunca va a hacer que el valor de cruzar los límites de la $(n\pm1)^{2^k}$. (Tenga en cuenta que las expresiones para $n$ $11$ reflejan este; el piso o el techo de las operaciones son nunca directamente seguido por una raíz cuadrada.)

Tomando logaritmos, tenemos que $n$ es accesible a partir de la $m$ fib $2^k\ln(n-1)<\ln m<2^k\ln(n+1)$. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de $m$ "al azar" distribuido, se puede pedir la "probabilidad" de un factorial cumplir esta condición. La longitud del intervalo admisible es $2^k(\ln(n+1)-\ln(n-1))$, y esto tiene que ser puesto en relación con la distancia entre los sucesivos intervalos, que es $2^{k+1}\ln n-2^k\ln n=2^k\ln n$. (Esta es la distancia hasta el siguiente intervalo de tiempo; la distancia hasta el siguiente intervalo menor es $2^{k-1}\ln n$, pero la diferencia no es relevante en lo que sigue.)

Así, la proporción de valores el cumplimiento de la condición es $2^k(\ln(n+1)-\ln(n-1))/(2^k\ln n)=(\ln(n+1)-\ln(n-1))/\ln n$. El valor exacto no es importante; el punto clave es que esto es independiente de la $k$ y por lo tanto no disminuye como $m$ aumenta. Por lo tanto, para cada una de las $m$, la "probabilidad" de $m$ el cumplimiento de la condición es aproximadamente el mismo, siempre y cuando tenga sentido considerar el logaritmo de $m$ distribuidos de manera uniforme. Pero sabemos que un número infinito de valores de $m$ son accesibles, es decir, al menos los que consiguen repetidamente tomar factoriales, comenzando con $4$, y es plausible que no hay una relación sistemática entre estos valores y los de arriba intervalos, de modo que los logaritmos de estos valores de $m$ puede ser considerado como uniformemente distribuidos. Puesto que para cualquier $n$ cada uno de estos valores de $m$ tiene la misma probabilidad finita de $n$ accesible desde la que se puede esperar para encontrar finalmente algunos $m$ a partir de que $n$ es alcanzable.