Integridad indefinida de$\arctan{\sqrt{1-x^{2}}}$

Question

Todo está en el título: ¿cuál es la antiderivada de$x\mapsto \arctan{\sqrt{1-x^{2}}}$?

Se supone que debo enseñar a los estudiantes más jóvenes a tomar una clase de integración, y este es uno de sus ejercicios. No me gusta mucho este tipo de matemáticas y, en consecuencia, no soy muy bueno en ello, pero me gustaría hacer un buen trabajo, así que gracias por su ayuda.

Answer 1

Aquí está el final de la historia:$$\int\arctan(\cos u)\cdot\cos (u)\,\mathrm d\mkern1mu u=\ \arctan(\cos u)\cdot\sin(u)\ +\ \int\frac{\sin^2u}{1+\cos^2u}\,\mathrm du. Now$\,\displaystyle \sin^2u=\frac{\tan^2u}{1+\tan^2u},\quad \cos^2u=\frac1{1+\tan^2u}$. Establecer$t=\tan u$. Tenemos$\mathrm d\mkern1mu u=\dfrac{\mathrm d\mkern1mu t}{1+t^2}$ así que la integral se convierte en \begin{align*} \int\frac{t^2}{(2+t^2)(1+t^2)}\mathrm d\mkern1mu t&=\int\frac{2\,\mathrm d\mkern1mu t}{(2+t^2)}-\int\frac{\mathrm d\mkern1mu t}{(1+t^2)}\\ &=\sqrt2\,\arctan\frac t{\sqrt2}-\arctan t \\ &=\sqrt2\,\arctan\frac{\tan u}{\sqrt2}- u \quad (+\,\mathrm{constant}) \end {align *} \

Answer 2

Bueno,$\sqrt{1-x^2}$ sugiere una sustitución como$x=\sin(u)$.

Entonces$dx=\cos(u)\cdot du$ y$$\int \arctan(\sqrt{1-x^2})\,dx\ =\ \int\arctan(\cos u)\cdot\cos (u)\,du\,. Estaríamos más felices si uno de estos términos fuera$\sin u$, ya que entonces podríamos usar la fórmula para la función interna.

Por lo tanto, utilicemos la integración por partes:$$\int\arctan(\cos u)\cdot\cos (u)\,du\ =\ \arctan(\cos u)\cdot\sin(u)\ -\ \int\frac1{1+\cos^2u}\cdot\sin(u)\,du Ahora use la substición$y=\cos(u)=\sqrt{1-x^2}$ y finalmente la vuelva a escribir en$x$.